Номер 3.11, страница 25 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.11. Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$, а биссектриса угла $C$ — сторону $AD$ в точке $K$. Докажите, что четырёхугольник $AMCK$ — параллелограмм.

3.11. Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$, а биссектриса угла $C$ — сторону $AD$ в точке $K$. Докажите, что четырёхугольник $AMCK$ — параллелограмм.

Для доказательства того, что четырехугольник AMCK является параллелограммом, воспользуемся одним из его признаков: если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Мы докажем, что стороны AK и MC равны и параллельны.

Шаг 1. Доказательство параллельности сторон AK и MC.

По условию, четырехугольник ABCD — параллелограмм. По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны, следовательно, $AD \parallel BC$.
Точка K лежит на стороне AD, а точка M — на стороне BC. Это означает, что отрезок AK является частью прямой AD, а отрезок MC — частью прямой BC.
Поскольку прямые AD и BC параллельны, то и отрезки, лежащие на этих прямых, также параллельны. Таким образом, $AK \parallel MC$.

Шаг 2. Доказательство равенства сторон AK и MC.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CDK$.
1. $AB = CD$, так как это противоположные стороны параллелограмма ABCD.
2. $\angle B = \angle D$, так как это противоположные углы параллелограмма ABCD.
3. Поскольку AM — биссектриса угла A, то $\angle BAM = \frac{1}{2}\angle A$.
4. Поскольку CK — биссектриса угла C, то $\angle DCK = \frac{1}{2}\angle C$.
В параллелограмме ABCD противоположные углы равны, то есть $\angle A = \angle C$. Следовательно, их половины также равны: $\frac{1}{2}\angle A = \frac{1}{2}\angle C$, а значит $\angle BAM = \angle DCK$.
Таким образом, в треугольниках $\triangle ABM$ и $\triangle CDK$ сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($AB = CD$, $\angle B = \angle D$ и $\angle BAM = \angle DCK$). Следовательно, $\triangle ABM = \triangle CDK$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $BM = DK$.
Противоположные стороны параллелограмма ABCD также равны: $AD = BC$.
Сторону AD можно представить как сумму отрезков $AK + KD$, а сторону BC — как $BM + MC$.
Получаем равенство: $AK + KD = BM + MC$.
Так как мы доказали, что $DK = BM$, мы можем вычесть эти равные отрезки из обеих частей равенства:
$AK = MC$.

Шаг 3. Вывод.

Мы установили, что в четырехугольнике AMCK противоположные стороны AK и MC параллельны ($AK \parallel MC$) и равны ($AK = MC$).
Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.
Следовательно, AMCK — параллелограмм, что и требовалось доказать.

Ответ: Четырехугольник AMCK является параллелограммом. Это доказывается по признаку параллелограмма: его противоположные стороны AK и MC параллельны, так как лежат на параллельных сторонах AD и BC, и равны, что следует из равенства треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle CDK$.