Номер 3.18, страница 25 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.18. В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ перпендикулярна стороне $BC$, $AB : BC = 2 : 1$. Найдите угол $ABC$.

3.18. В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ перпендикулярна стороне $BC$, $AB : BC = 2 : 1$. Найдите угол $ABC$.

Обозначим длину стороны $BC$ как $x$. Из условия $AB : BC = 2 : 1$ следует, что длина стороны $AB$ равна $2x$.

Выполним дополнительное построение: на продолжении медианы $BM$ за точку $M$ отложим отрезок $MD$, равный $BM$. Соединим точку $D$ с точкой $A$. Рассмотрим получившийся четырёхугольник $ABCD$.

Поскольку $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$ ($AM = MC$). По построению, точка $M$ также является серединой отрезка $BD$ ($BM = MD$). Четырёхугольник, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.

Из свойств параллелограмма следует, что его противоположные стороны равны и параллельны. Таким образом, $AD = BC = x$ и $AD \parallel BC$.

По условию задачи, медиана $BM$ перпендикулярна стороне $BC$, что означает $∠MBC = 90^\circ$. Так как прямые $AD$ и $BC$ параллельны, а $BD$ является секущей, то внутренние накрест лежащие углы $∠ADB$ и $∠MBC$ равны. Следовательно, $∠ADB = 90^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Он является прямоугольным, так как $∠ADB = 90^\circ$. В этом треугольнике гипотенуза $AB$ равна $2x$, а катет $AD$ равен $x$.

В прямоугольном треугольнике $ABD$ катет $AD$ равен половине гипотенузы $AB$. Это свойство треугольника с углами $30^\circ$, $60^\circ$ и $90^\circ$, где угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет $30^\circ$. Таким образом, $∠ABD = 30^\circ$.

Искомый угол $∠ABC$ равен сумме углов $∠ABD$ и $∠MBC$:$∠ABC = ∠ABD + ∠MBC = 30^\circ + 90^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.