Номер 3.22, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.22. Через середину $O$ диагонали $NP$ параллелограмма $MNKP$ проведена прямая, пересекающая стороны $MN$ и $KP$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Докажите, что четырёхугольник $ANBP$ — параллелограмм.

3.22. Через середину $O$ диагонали $NP$ параллелограмма $MNKP$ проведена прямая, пересекающая стороны $MN$ и $KP$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Докажите, что четырёхугольник $ANBP$ — параллелограмм.

Для доказательства того, что четырехугольник $ANBP$ является параллелограммом, воспользуемся одним из его признаков: если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Диагоналями четырехугольника $ANBP$ являются отрезки $NP$ и $AB$, которые пересекаются в точке $O$.

1. По условию задачи, $MNKP$ — параллелограмм. Одним из свойств параллелограмма является то, что его противолежащие стороны параллельны. Следовательно, $MN \parallel KP$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle ANO$ и $\triangle BPO$.

• $NO = PO$, так как по условию точка $O$ — середина диагонали $NP$.
• $\angle AON = \angle BOP$ как вертикальные углы.
• $\angle OAN = \angle OBP$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $MN$ и $KP$ и секущей $AB$. (Так как $A \in MN$ и $B \in KP$, то $AN \parallel BP$).

Таким образом, $\triangle ANO \cong \triangle BPO$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам, ASA). Хотя чаще используется признак с углами при стороне $NP$: $\angle ANO = \angle BPO$ как накрест лежащие углы при $MN \parallel KP$ и секущей $NP$. Это также приводит к равенству треугольников по стороне и двум углам (AAS или ASA, в зависимости от выбранной пары углов).

3. Из равенства треугольников $\triangle ANO \cong \triangle BPO$ следует равенство их соответствующих сторон: $AO = BO$. Это означает, что точка $O$ является серединой отрезка $AB$.

4. Мы имеем, что диагонали четырехугольника $ANBP$ — $NP$ и $AB$ — пересекаются в точке $O$, которая является серединой каждой из них ($NO = PO$ по условию, $AO = BO$ по доказанному).

Следовательно, по признаку параллелограмма, четырехугольник $ANBP$ является параллелограммом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что четырехугольник ANBP — параллелограмм.