Номер 3.27, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.27. В шестиугольнике $ABCDEF$ стороны в парах $AB$ и $DE$, $BC$ и $EF$, $AF$ и $CD$ равны и параллельны. Докажите, что диагонали $AD$, $BE$ и $CF$ пересекаются в одной точке.

3.27. В шестиугольнике $ABCDEF$ стороны в парах $AB$ и $DE$, $BC$ и $EF$, $AF$ и $CD$ равны и параллельны. Докажите, что диагонали $AD$, $BE$ и $CF$ пересекаются в одной точке.

Для доказательства утверждения воспользуемся свойствами параллелограммов.

1. Рассмотрим четырехугольник $ABDE$. По условию задачи, стороны $AB$ и $DE$ равны и параллельны. Четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны, является параллелограммом. Следовательно, $ABDE$ — параллелограмм. Основное свойство диагоналей параллелограмма заключается в том, что они пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Таким образом, диагонали $AD$ и $BE$ пересекаются в точке, которая является серединой каждой из них. Обозначим эту точку $O$.

2. Теперь рассмотрим четырехугольник $BCEF$. По условию, его противоположные стороны $BC$ и $EF$ также равны и параллельны. Следовательно, $BCEF$ — это параллелограмм. Его диагонали $BE$ и $CF$ пересекаются в точке, которая является их общей серединой.

3. Сопоставим полученные результаты. Из первого пункта мы знаем, что середина диагонали $BE$ — это точка $O$. Из второго пункта следует, что середина диагонали $CF$ совпадает с серединой диагонали $BE$. Значит, точка $O$ также является серединой диагонали $CF$.

Таким образом, мы установили, что точка $O$ является общей серединой для всех трех диагоналей: $AD$, $BE$ и $CF$. Это означает, что все три диагонали проходят через одну и ту же точку $O$.

Для полноты доказательства можно рассмотреть и третью пару сторон. По условию, стороны $AF$ и $CD$ равны и параллельны, значит четырехугольник $AFDC$ также является параллелограммом. Его диагонали $AD$ и $CF$ должны пересекаться в их общей середине. Мы уже показали, что серединой и $AD$, и $CF$ является точка $O$, что подтверждает наш вывод.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Диагонали $AD$, $BE$ и $CF$ пересекаются в одной точке, которая является общей серединой для каждой из них.