Номер 5.2, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.2. Угол между диагоналями прямоугольника равен $60^\circ$, а меньшая сторона прямоугольника равна 8 см. Найдите диагональ прямоугольника.

5.2. Угол между диагоналями прямоугольника равен $60^\circ$, а меньшая сторона прямоугольника равна 8 см. Найдите диагональ прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник, диагонали которого пересекаются в точке О. Свойства диагоналей прямоугольника: они равны и в точке пересечения делятся пополам. Это означает, что отрезки, на которые точка О делит диагонали, равны между собой.

Диагонали делят прямоугольник на четыре равнобедренных треугольника. Рассмотрим треугольник, основанием которого является меньшая сторона прямоугольника ($a$), а боковыми сторонами — половины диагоналей ($d/2$).

Углы, образованные пересечением диагоналей, являются углами при вершинах этих равнобедренных треугольников. По условию, один из этих углов равен $60^\circ$. Смежный с ним угол равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Следовательно, меньшей стороне прямоугольника противолежит меньший угол между диагоналями, то есть $60^\circ$.

Таким образом, мы рассматриваем равнобедренный треугольник, у которого угол при вершине (между равными сторонами $d/2$) равен $60^\circ$. Найдем углы при основании этого треугольника. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, а углы при основании равнобедренного треугольника равны, то каждый из них равен:
$(180^\circ - 60^\circ) / 2 = 120^\circ / 2 = 60^\circ$.

Все углы этого треугольника равны $60^\circ$, значит, он является равносторонним. В равностороннем треугольнике все стороны равны.

Следовательно, длина меньшей стороны прямоугольника равна длине половины диагонали:
$a = d/2$.

По условию, меньшая сторона $a = 8$ см. Подставив это значение, получим:
$8 \text{ см} = d/2$.

Отсюда находим длину диагонали $d$:
$d = 8 \cdot 2 = 16$ см.

Ответ: 16 см.