Номер 5.4, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.4. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 55 см. Прямоугольник ABCD построен так, что две его вершины A и D принадлежат гипотенузе, а две другие — катетам данного треугольника. Найдите стороны прямоугольника, если $AB : BC = 3 : 5$.

5.4. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 55 см. Прямоугольник ABCD построен так, что две его вершины A и D принадлежат гипотенузе, а две другие — катетам данного треугольника. Найдите стороны прямоугольника, если $AB : BC = 3 : 5$.

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник, назовем его $\triangle PQR$, с прямым углом при вершине $Q$. Так как треугольник равнобедренный, его катеты равны ($PQ = QR$), а углы при гипотенузе $PR$ равны $\angle P = \angle R = (180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$. По условию задачи, длина гипотенузы $PR = 55$ см.

В этот треугольник вписан прямоугольник $ABCD$ таким образом, что его вершины $A$ и $D$ лежат на гипотенузе $PR$, а вершины $B$ и $C$ — на катетах $PQ$ и $QR$ соответственно. Из этого следует, что сторона $AD$ прямоугольника является частью гипотенузы $PR$, а стороны $AB$ и $CD$ перпендикулярны гипотенузе $PR$.

Рассмотрим треугольник $\triangle PBA$. Так как $AB \perp PR$, то $\angle PAB = 90^\circ$. Угол $\angle P = 45^\circ$, следовательно, третий угол треугольника $\angle PBA = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Таким образом, $\triangle PBA$ является равнобедренным прямоугольным треугольником, и его катеты равны: $PA = AB$.

Аналогично, рассмотрим треугольник $\triangle RCD$. Так как $CD \perp PR$, то $\angle RDC = 90^\circ$. Угол $\angle R = 45^\circ$, следовательно, $\angle RCD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Таким образом, $\triangle RCD$ также является равнобедренным прямоугольным треугольником, и его катеты равны: $RD = CD$.

По условию, стороны прямоугольника $ABCD$ соотносятся как $AB : BC = 3 : 5$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины сторон можно выразить как $AB = 3x$ и $BC = 5x$. Поскольку $ABCD$ — это прямоугольник, его противоположные стороны равны: $CD = AB = 3x$ и $AD = BC = 5x$.

Из анализа малых треугольников мы получили, что $PA = AB = 3x$ и $RD = CD = 3x$.

Длина гипотенузы $PR$ равна сумме длин отрезков, на которые она разделена вершинами прямоугольника: $PA$, $AD$ и $RD$.$PR = PA + AD + RD$

Подставим известные значения и выражения в это уравнение:$55 = 3x + 5x + 3x$$55 = 11x$$x = \frac{55}{11} = 5$

Теперь мы можем найти длины сторон прямоугольника:Сторона $AB = 3x = 3 \cdot 5 = 15$ см.Сторона $BC = 5x = 5 \cdot 5 = 25$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 15 см и 25 см.