Номер 5.10, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.10. Одна из диагоналей ромба равна его стороне. Найдите углы ромба.

5.10. Одна из диагоналей ромба равна его стороне. Найдите углы ромба.

Пусть дан ромб, все стороны которого равны $a$. По определению, ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Пусть ромб называется $ABCD$. Тогда $AB = BC = CD = DA = a$.

Согласно условию задачи, одна из диагоналей ромба равна его стороне. Предположим, что диагональ $AC$ равна стороне $a$, то есть $AC = a$.

Рассмотрим треугольник $ΔABC$, который образуется сторонами ромба $AB$, $BC$ и диагональю $AC$. В этом треугольнике все стороны равны друг другу: $AB = BC = AC = a$.

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним. Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^{\circ}$. Следовательно, $∠ABC = 60^{\circ}$.

Угол $∠ABC$ является одним из углов ромба. В ромбе, как и в любом параллелограмме, противоположные углы равны. Значит, угол, противоположный $∠ABC$, также равен $60^{\circ}$: $∠ADC = 60^{\circ}$.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна $180^{\circ}$. Найдем два других угла ромба: $∠DAB + ∠ABC = 180^{\circ}$ $∠DAB = 180^{\circ} - ∠ABC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

Противоположный ему угол $∠BCD$ также равен $120^{\circ}$.

Таким образом, у ромба два острых угла по $60^{\circ}$ и два тупых угла по $120^{\circ}$.

Ответ: $60^{\circ}$, $120^{\circ}$.