Номер 5.5, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.5. В треугольнике ABC $\angle C = 90^\circ$, $AC = BC = 6$ см. Прямоугольник CMKN построен так, что точка M принадлежит катету AC, точка N — катету BC, а точка K — гипотенузе AB. Найдите периметр прямоугольника CMKN.

5.5. В треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $AC = BC = 6$ см. Прямоугольник $CMKN$ построен так, что точка $M$ принадлежит катету $AC$, точка $N$ — катету $BC$, а точка $K$ — гипотенузе $AB$. Найдите периметр прямоугольника $CMKN$.

Поскольку треугольник $ABC$ является прямоугольным с $\angle C = 90^\circ$ и равнобедренным, так как катеты $AC = BC = 6$ см, то углы при его основании равны:$\angle A = \angle B = (180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.

$CMKN$ – прямоугольник, следовательно, его противоположные стороны параллельны. В частности, сторона $MK$ параллельна стороне $CN$. Так как точка $N$ лежит на катете $BC$, то $MK \parallel BC$. Аналогично, $NK \parallel AC$.

Рассмотрим треугольник $AMK$. В нем $\angle A = 45^\circ$. Прямые $MK$ и $BC$ параллельны, а $AB$ является для них секущей. Следовательно, соответственные углы $\angle AKM$ и $\angle ABC$ равны. Таким образом, $\angle AKM = \angle B = 45^\circ$.

Так как в треугольнике $AMK$ два угла равны ($\angle A = \angle AKM = 45^\circ$), он является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $AM = MK$.

В прямоугольнике $CMKN$ противоположные стороны равны, поэтому $MK = CN$. Из этого и предыдущего равенства следует, что $AM = CN$.

Точка $M$ лежит на катете $AC$, поэтому длина катета $AC$ равна сумме длин отрезков $AM$ и $MC$: $AC = AM + MC$.Заменим в этом выражении $AM$ на равный ему отрезок $CN$: $AC = CN + MC$.

По условию задачи $AC = 6$ см, значит, сумма смежных сторон прямоугольника $CMKN$ равна $CM + CN = 6$ см.

Периметр прямоугольника $CMKN$ вычисляется по формуле $P_{CMKN} = 2(CM + CN)$.Подставим найденное значение суммы сторон: $P_{CMKN} = 2 \times 6 = 12$ см.

Ответ: 12 см.