Номер 5.17, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.17. Докажите, что диагональ ромба делит пополам угол между высотами ромба, проведёнными из той же вершины, что и диагональ.

5.17. Докажите, что диагональ ромба делит пополам угол между высотами ромба, проведёнными из той же вершины, что и диагональ.

Пусть дан ромб $ABCD$. Проведём из вершины $A$ диагональ $AC$, а также высоты $AH_1$ и $AH_2$ к прямым, содержащим стороны $BC$ и $CD$ соответственно. Требуется доказать, что луч $AC$ является биссектрисой угла $\angle H_1AH_2$, то есть, что $\angle H_1AC = \angle H_2AC$.

По свойству ромба, его диагональ является биссектрисой угла, из которого она проведена. Следовательно, $AC$ — биссектриса угла $\angle BAD$, что означает $\angle BAC = \angle DAC$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH_1$ (с прямым углом в точке $H_1$) и $\triangle ADH_2$ (с прямым углом в точке $H_2$).
В этих треугольниках гипотенузы $AB$ и $AD$ равны как стороны ромба.
Противоположные углы ромба $\angle ABC$ и $\angle ADC$ также равны. Это означает, что острые углы в треугольниках $\triangle ABH_1$ и $\triangle ADH_2$ при вершинах $B$ и $D$ соответственно также равны (если углы ромба $\angle B$ и $\angle D$ острые, то это сами эти углы; если они тупые, то равны смежные с ними углы, т.е. $180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - \angle ADC$).
Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle ABH_1$ и $\triangle ADH_2$ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов: $\angle BAH_1 = \angle DAH_2$.

Теперь выразим углы $\angle H_1AC$ и $\angle H_2AC$. Расположение высот относительно угла $\angle BAD$ зависит от того, являются ли углы $\angle B$ и $\angle D$ острыми или тупыми.
1. Если углы $\angle B$ и $\angle D$ острые, то высоты лежат внутри угла $\angle BAD$, и тогда $\angle H_1AC = \angle BAC - \angle BAH_1$, а $\angle H_2AC = \angle DAC - \angle DAH_2$.
2. Если же углы $\angle B$ и $\angle D$ тупые, то высоты лежат вне угла $\angle BAD$, и тогда $\angle H_1AC = \angle BAH_1 + \angle BAC$, а $\angle H_2AC = \angle DAH_2 + \angle DAC$.

В обоих случаях, поскольку $\angle BAC = \angle DAC$ и $\angle BAH_1 = \angle DAH_2$, мы получаем, что $\angle H_1AC = \angle H_2AC$.

Это означает, что диагональ $AC$ делит угол $\angle H_1AH_2$ пополам, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.