Номер 3.16, страница 25 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.16. Постройте параллелограмм:

1) по двум диагоналям и стороне;

2) по двум диагоналям и углу между ними;

3) по двум диагоналям и высоте.

3.16. Постройте параллелограмм:

1) по двум диагоналям и стороне;

2) по двум диагоналям и углу между ними;

3) по двум диагоналям и высоте.

1) по двум диагоналям и стороне;

Пусть даны длины диагоналей $d_1$ и $d_2$ и длина стороны $a$. Основное свойство параллелограмма, которое мы будем использовать, заключается в том, что его диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Пусть $ABCD$ — искомый параллелограмм, $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$. Тогда $AC = d_1$, $BD = d_2$, и пусть сторона $AB = a$. В треугольнике $AOB$ стороны равны: $AB = a$, $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{d_1}{2}$, $BO = \frac{1}{2}BD = \frac{d_2}{2}$.

Таким образом, задача сводится к построению треугольника $AOB$ по трем сторонам, а затем к достроению его до параллелограмма. Построение возможно, если для сторон треугольника $AOB$ выполняется неравенство треугольника: $a < \frac{d_1}{2} + \frac{d_2}{2}$, $\frac{d_1}{2} < a + \frac{d_2}{2}$, $\frac{d_2}{2} < a + \frac{d_1}{2}$.

Порядок построения:

1. Построить отрезок $AB$ длиной $a$.
2. Из точки $A$ провести дугу окружности радиусом $R_1 = \frac{d_1}{2}$.
3. Из точки $B$ провести дугу окружности радиусом $R_2 = \frac{d_2}{2}$.
4. Точка пересечения этих дуг будет вершиной $O$ — центром параллелограмма.
5. На луче $AO$ отложить отрезок $OC$, равный $AO$, так, чтобы точка $O$ лежала между $A$ и $C$.
6. На луче $BO$ отложить отрезок $OD$, равный $BO$, так, чтобы точка $O$ лежала между $B$ и $D$.
7. Последовательно соединить точки $A, B, C, D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомый параллелограмм.

Доказательство: В построенном четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC = AO+OC = 2AO = d_1$ и $BD = BO+OD = 2BO = d_2$. Так как диагонали точкой пересечения $O$ делятся пополам, то $ABCD$ — параллелограмм. Сторона $AB=a$ по построению.

Ответ: Строим треугольник по стороне $a$ и половинам диагоналей $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$. Затем достраиваем его до параллелограмма, продлевая отрезки от вершин до точки пересечения диагоналей на их собственную длину.

2) по двум диагоналям и углу между ними;

Пусть даны длины диагоналей $d_1$ и $d_2$ и угол $\alpha$ между ними. Используем то же свойство: диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.

Пусть $ABCD$ — искомый параллелограмм, $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$. Тогда $AC = d_1$, $BD = d_2$, и угол $\angle AOB = \alpha$. В треугольнике $AOB$ известны две стороны $AO = \frac{d_1}{2}$, $BO = \frac{d_2}{2}$ и угол между ними $\angle AOB = \alpha$.

Задача сводится к построению треугольника $AOB$ по двум сторонам и углу между ними, а затем к достроению его до параллелограмма.

Порядок построения:

1. Построить угол, равный данному углу $\alpha$, с вершиной в точке $O$.
2. На одной стороне угла от точки $O$ отложить отрезок $OA$ длиной $\frac{d_1}{2}$.
3. На другой стороне угла от точки $O$ отложить отрезок $OB$ длиной $\frac{d_2}{2}$.
4. На луче $AO$ отложить отрезок $OC$, равный $AO$, так, чтобы точка $O$ лежала между $A$ и $C$.
5. На луче $BO$ отложить отрезок $OD$, равный $BO$, так, чтобы точка $O$ лежала между $B$ и $D$.
6. Последовательно соединить точки $A, B, C, D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомый параллелограмм.

Доказательство: В построенном четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм. Длины диагоналей равны $AC = 2AO = d_1$ и $BD = 2BO = d_2$, а угол между ними равен $\alpha$ по построению.

Ответ: Строим две пересекающиеся под углом $\alpha$ прямые. На них от точки пересечения $O$ откладываем в противоположные стороны отрезки, равные половинам диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$). Концы этих отрезков и будут вершинами параллелограмма.

3) по двум диагоналям и высоте.

Пусть даны длины диагоналей $d_1$, $d_2$ и высота $h$. Высота параллелограмма — это расстояние между прямыми, содержащими его противоположные стороны.

Пусть в искомом параллелограмме $ABCD$ высота, опущенная из вершины $B$ на сторону $AD$, равна $h$. Это означает, что расстояние между параллельными прямыми $AD$ и $BC$ равно $h$. Точка пересечения диагоналей $O$ равноудалена от этих прямых и находится на расстоянии $\frac{h}{2}$ от каждой из них.

Это позволяет свести задачу к следующему построению. Построение возможно, если $d_1 \ge h$ и $d_2 \ge h$.

Порядок построения:

1. Провести прямую $m$. Эта прямая будет средней линией для параллельных сторон, на которых лежат вершины.
2. Построить две прямые $l_1$ и $l_2$, параллельные прямой $m$ и находящиеся на расстоянии $\frac{h}{2}$ от нее по разные стороны. Расстояние между $l_1$ и $l_2$ будет равно $h$.
3. Выбрать на прямой $m$ произвольную точку $O$ — будущий центр параллелограмма.
4. Из точки $O$ провести окружность радиусом $R_1 = \frac{d_1}{2}$. Точки пересечения этой окружности с прямыми $l_1$ и $l_2$ дадут две противоположные вершины. Пусть одна из точек пересечения с прямой $l_1$ будет вершиной $A$. Тогда противоположная ей вершина $C$ будет точкой, диаметрально противоположной $A$ на этой же окружности, и она будет лежать на прямой $l_2$.
5. Из точки $O$ провести окружность радиусом $R_2 = \frac{d_2}{2}$. Пусть одна из точек пересечения этой окружности с прямой $l_2$ будет вершиной $B$. Тогда противоположная ей вершина $D$ будет точкой, диаметрально противоположной $B$ на второй окружности, и она будет лежать на прямой $l_1$.
6. Последовательно соединить точки $A, B, C, D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомый параллелограмм.

Доказательство: В построенном четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам. Значит, $ABCD$ — параллелограмм. Длины диагоналей равны $AC = 2R_1 = d_1$ и $BD = 2R_2 = d_2$. Вершины $A$ и $D$ лежат на прямой $l_1$, а вершины $B$ и $C$ — на прямой $l_2$. Прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны, и расстояние между ними равно $h$. Следовательно, высота параллелограмма, проведенная, например, к стороне $AD$, равна $h$.

Ответ: Строим три параллельные прямые $l_1, m, l_2$ с расстоянием $\frac{h}{2}$ между соседними. На средней прямой $m$ выбираем точку $O$. Строим две окружности с центром в $O$ и радиусами $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$. Первая окружность в пересечении с $l_1$ и $l_2$ дает вершины $A$ и $C$. Вторая окружность в пересечении с $l_1$ и $l_2$ дает вершины $D$ и $B$. Четырехугольник $ABCD$ — искомый.