Номер 3.15, страница 25 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.15. Биссектрисы углов $A$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ пересекают его диагональ $BD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что четырёхугольник $AECF$ — параллелограмм.

3.15. Биссектрисы углов $A$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ пересекают его диагональ $BD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что четырёхугольник $AECF$ — параллелограмм.

Пусть диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. По свойству параллелограмма, диагонали в точке пересечения делятся пополам, следовательно, $AO = OC$ и $BO = OD$.

Чтобы доказать, что четырёхугольник $AECF$ является параллелограммом, воспользуемся признаком параллелограмма: если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Диагонали четырёхугольника $AECF$ — это отрезки $AC$ и $EF$. Точка $O$ является серединой диагонали $AC$. Нам необходимо доказать, что точка $O$ также является серединой диагонали $EF$, то есть что $EO = OF$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ADE$ и $\triangle CBF$.

1. $AD = CB$, так как это противоположные стороны параллелограмма $ABCD$.

2. $\angle ADE = \angle CBF$, так как это накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$.

3. $\angle DAE = \angle BCF$. Это следует из того, что $\angle A = \angle C$ (как противоположные углы параллелограмма), а $AE$ и $CF$ — биссектрисы этих углов, поэтому $\angle DAE = \frac{1}{2}\angle A = \frac{1}{2}\angle C = \angle BCF$.

Следовательно, $\triangle ADE = \triangle CBF$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $DE = BF$.

Теперь сравним отрезки $OE$ и $OF$. Мы знаем, что точка $O$ — середина диагонали $BD$, поэтому $OD = OB$. Так как из доказанного выше $DE = BF$, то и разности равных отрезков будут равны: $OD - DE = OB - BF$.

Эта разность длин как раз и представляет собой отрезки $OE$ и $OF$. Вне зависимости от того, какая из сторон параллелограмма ($AB$ или $AD$) длиннее, точки $E$ и $F$ будут расположены на диагонали $BD$ симметрично относительно её центра $O$. Таким образом, из $OD - DE = OB - BF$ следует, что $OE = OF$.

Итак, мы показали, что диагонали четырёхугольника $AECF$ ($AC$ и $EF$) пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам. Следовательно, $AECF$ — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что четырёхугольник AECF — параллелограмм.