Номер 3.8, страница 24 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.8. На сторонах параллелограмма $ABCD$ (рис. 3.12) отложены равные отрезки $AM$, $BK$, $CE$ и $DF$. Докажите, что четырёхугольник $MKEF$ — параллелограмм.

Рис. 3.12

3.8. На сторонах параллелограмма $ABCD$ (рис. 3.12) отложены равные отрезки $AM$, $BK$, $CE$ и $DF$. Докажите, что четырёхугольник $MKEF$ — параллелограмм.

Рис. 3.12

Для доказательства того, что четырехугольник $MKEF$ является параллелограммом, воспользуемся одним из его признаков: если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Докажем, что $MK = EF$ и $KE = MF$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AMF$ и $\triangle CKE$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны и углы равны:

$AD = BC$ и $\angle A = \angle C$.

По условию задачи отложены равные отрезки: $AM = BK = CE = DF$.

Из этого следует:

1. $AM = CE$ (по условию).
2. Сторона $AF = AD - DF$. Сторона $CK = BC - BK$. Так как $AD = BC$ и $DF = BK$, то $AF = CK$.
3. $\angle MAF = \angle A$ и $\angle KCE = \angle C$. Так как $\angle A = \angle C$, то $\angle MAF = \angle KCE$.

Следовательно, $\triangle AMF \cong \triangle CKE$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $MF = KE$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle BKM$ и $\triangle DFE$.

По свойствам параллелограмма $ABCD$:

$AB = CD$ и $\angle B = \angle D$.

Из условия $AM = BK = CE = DF$ следует:

1. $BK = DF$ (по условию).
2. Сторона $BM = AB - AM$. Сторона $DE = CD - CE$. Так как $AB = CD$ и $AM = CE$, то $BM = DE$.
3. $\angle KBM = \angle B$ и $\angle FDE = \angle D$. Так как $\angle B = \angle D$, то $\angle KBM = \angle FDE$.

Следовательно, $\triangle BKM \cong \triangle DFE$ по первому признаку равенства треугольников. Из этого следует, что $MK = FE$.

Таким образом, в четырехугольнике $MKEF$ противолежащие стороны попарно равны: $MF = KE$ и $MK = FE$. Согласно признаку параллелограмма, четырехугольник $MKEF$ является параллелограммом, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, четырехугольник $MKEF$ — параллелограмм.