Номер 3.7, страница 24 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.7. На сторонах $AB$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ отложены равные отрезки $AM$ и $CK$. Докажите, что четырёхугольник $MBKD$ — параллелограмм.

3.7. На сторонах $AB$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ отложены равные отрезки $AM$ и $CK$. Докажите, что четырёхугольник $MBKD$ — параллелограмм.

Дано:

$ABCD$ — параллелограмм.
$M \in AB$, $K \in CD$.
$AM = CK$.

Доказать:

$MBKD$ — параллелограмм.

Доказательство:

Для доказательства того, что четырёхугольник $MBKD$ является параллелограммом, воспользуемся одним из признаков параллелограмма: если в четырёхугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Докажем, что стороны $MB$ и $DK$ равны и параллельны.

1. По определению параллелограмма, его противолежащие стороны параллельны и равны. Следовательно, для параллелограмма $ABCD$ имеем:

• $AB \parallel CD$
• $AB = CD$

2. Так как точка $M$ лежит на стороне $AB$, а точка $K$ — на стороне $CD$, то отрезки $MB$ и $DK$ лежат на прямых $AB$ и $CD$ соответственно. Поскольку прямые $AB$ и $CD$ параллельны, то и отрезки, лежащие на них, также параллельны. Таким образом, $MB \parallel DK$.

3. Длины отрезков $MB$ и $DK$ можно выразить следующим образом:

• $MB = AB - AM$
• $DK = CD - CK$

4. Нам известно, что $AB = CD$ (как противолежащие стороны параллелограмма) и $AM = CK$ (по условию задачи). Так как мы вычитаем равные отрезки ($AM$ и $CK$) из равных отрезков ($AB$ и $CD$), то в результате получатся равные отрезки:

$MB = AB - AM = CD - CK = DK$

Следовательно, $MB = DK$.

5. Мы установили, что в четырёхугольнике $MBKD$ две противолежащие стороны ($MB$ и $DK$) одновременно равны ($MB = DK$) и параллельны ($MB \parallel DK$). Согласно признаку параллелограмма, это означает, что четырёхугольник $MBKD$ является параллелограммом.

Ответ: Что и требовалось доказать.