Номер 3.1, страница 24 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.1. Докажите, что если сумма углов, прилежащих к любой из соседних сторон четырёхугольника, равна $180^\circ$, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

3.1. Докажите, что если сумма углов, прилежащих к любой из соседних сторон четырёхугольника, равна $180^\circ$, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Дано:

Пусть дан четырёхугольник ABCD. По условию, сумма углов, прилежащих к любой из его сторон, равна $180^\circ$. Это означает, что выполняются следующие равенства:

1. $\angle A + \angle B = 180^\circ$ (углы, прилежащие к стороне AB)

2. $\angle B + \angle C = 180^\circ$ (углы, прилежащие к стороне BC)

3. $\angle C + \angle D = 180^\circ$ (углы, прилежащие к стороне CD)

4. $\angle D + \angle A = 180^\circ$ (углы, прилежащие к стороне DA)

Доказать:

Четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

Доказательство:

Для доказательства того, что четырёхугольник является параллелограммом, достаточно доказать, что его противоположные стороны попарно параллельны.

1. Рассмотрим стороны AD и BC и прямую AB в качестве секущей. Углы $\angle A$ и $\angle B$ являются внутренними односторонними углами при этих прямых и секущей. По условию, $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны. Следовательно, $AD \parallel BC$.

2. Теперь рассмотрим стороны AB и DC и прямую BC в качестве секущей. Углы $\angle B$ и $\angle C$ являются внутренними односторонними углами. По условию, $\angle B + \angle C = 180^\circ$. По тому же признаку параллельности прямых, делаем вывод, что $AB \parallel DC$.

Таким образом, мы установили, что в четырёхугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны ($AD \parallel BC$ и $AB \parallel DC$). По определению, четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Так как сумма внутренних односторонних углов при каждой паре соседних сторон и секущей равна $180^\circ$, то противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны. Согласно определению, такой четырехугольник является параллелограммом.