Номер 2.44, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.44. Точки $A$ и $C$ принадлежат углу, но не принадлежат его сторонам.

Постройте параллелограмм $ABCD$ так, чтобы вершины $B$ и $D$ принадлежали сторонам данного угла.

2.44. Точки $A$ и $C$ принадлежат углу, но не принадлежат его сторонам.
Постройте параллелограмм $ABCD$ так, чтобы вершины $B$ и $D$ принадлежали сторонам данного угла.

Для решения задачи воспользуемся свойством диагоналей параллелограмма: они пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Этот метод называется методом центральной симметрии.

Пусть $ABCD$ — искомый параллелограмм. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$, которая является серединой каждой из них. Так как вершины $A$ и $C$ заданы, мы можем построить их середину — точку $M$.

Точка $M$ является центром симметрии для параллелограмма. В частности, вершина $D$ симметрична вершине $B$ относительно центра $M$. По условию задачи, вершина $B$ должна лежать на одной стороне угла (обозначим ее лучом $l_1$), а вершина $D$ — на другой (луче $l_2$).

Так как точка $B$ принадлежит лучу $l_1$ ($B \in l_1$), а точка $D$ симметрична точке $B$ относительно $M$, то точка $D$ должна принадлежать образу луча $l_1$ при центральной симметрии относительно точки $M$. Обозначим этот образ $l_1'$. Образом прямой, содержащей луч $l_1$, будет параллельная ей прямая. Таким образом, вершина $D$ должна удовлетворять двум условиям: она лежит на луче $l_2$ и одновременно на образе $l_1'$. Следовательно, точка $D$ является точкой пересечения прямой, содержащей луч $l_2$, и прямой, содержащей образ $l_1'$. Это позволяет однозначно найти вершину $D$, а затем и вершину $B$.

Построение:

1. Соединяем данные точки $A$ и $C$ отрезком.
2. Находим середину $M$ отрезка $AC$. Это стандартное построение с помощью циркуля и линейки: строим две дуги окружностей с центрами в точках $A$ и $C$ и одинаковым радиусом (большим половины длины $AC$); прямая, проходящая через точки пересечения дуг, является срединным перпендикуляром к $AC$; точка пересечения этого перпендикуляра с отрезком $AC$ и есть середина $M$.
3. Обозначим стороны угла лучами $l_1$ и $l_2$. Построим прямую $l_1'$, симметричную прямой, содержащей луч $l_1$, относительно точки $M$. Для этого можно:
   • Выбрать на $l_1$ произвольную точку $P$.
   • Построить точку $P'$, симметричную точке $P$ относительно $M$ (для этого проводим луч $PM$ и откладываем на нем от точки $M$ отрезок $MP' = MP$).
   • Через точку $P'$ провести прямую $l_1'$ параллельно прямой, содержащей луч $l_1$.
4. Находим точку пересечения прямой $l_1'$ и прямой, содержащей луч $l_2$. Эта точка и будет вершиной $D$ искомого параллелограмма.
5. Проводим прямую через точки $D$ и $M$. Точка пересечения этой прямой со стороной угла $l_1$ будет вершиной $B$. По построению, точки $B$ и $D$ будут симметричны относительно $M$.
6. Соединяем последовательно точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомый параллелограмм.

Доказательство: В построенном четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ по построению пересекаются в точке $M$ и делятся ею пополам. По признаку параллелограмма, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом. Его вершины $B$ и $D$ по построению лежат на сторонах данного угла. Следовательно, все условия задачи выполнены. Задача всегда имеет единственное решение, так как стороны угла не параллельны, а значит прямая $l_1'$, параллельная одной из сторон, обязательно пересечет другую сторону.

Ответ: Для построения параллелограмма необходимо найти середину $M$ отрезка $AC$. Затем построить прямую, симметричную одной из сторон угла (например, той, на которой должна лежать вершина $B$) относительно точки $M$. Точка пересечения этой построенной прямой с другой стороной угла является вершиной $D$. Последняя вершина $B$ находится как точка пересечения прямой $DM$ с первой стороной угла.