Номер 2.37, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.37. Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$, а биссектриса угла $AMC$ проходит через точку $D$. Найдите углы параллелограмма, если $\angle MDC = 45^\circ$.

2.37. Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$, а биссектриса угла $AMC$ проходит через точку $D$.

Найдите углы параллелограмма, если $\angle MDC = 45^\circ$.

Пусть в параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $A$ ($AM$) пересекает сторону $BC$ в точке $M$, а биссектриса угла $AMC$ ($MD$) проходит через точку $D$. По условию, $\angle MDC = 45^{\circ}$.

Обозначим $\angle BAM = \angle MAD = \alpha$. Так как $AM$ — биссектриса, то $\angle BAD = 2\alpha$.

Поскольку $AD \parallel BC$ в параллелограмме $ABCD$, углы $\angle MAD$ и $\angle AMB$ являются накрест лежащими при секущей $AM$. Следовательно, они равны:
$\angle AMB = \angle MAD = \alpha$.

В треугольнике $ABM$ два угла равны ($\angle BAM = \angle AMB = \alpha$), значит, треугольник $ABM$ — равнобедренный, и $AB = BM$.

Углы $\angle AMB$ и $\angle AMC$ — смежные, их сумма равна $180^{\circ}$.
$\angle AMC = 180^{\circ} - \angle AMB = 180^{\circ} - \alpha$.

По условию, $DM$ — биссектриса угла $AMC$. Это означает, что она делит угол пополам:
$\angle DMC = \frac{\angle AMC}{2} = \frac{180^{\circ} - \alpha}{2} = 90^{\circ} - \frac{\alpha}{2}$.

Теперь рассмотрим треугольник $DMC$. Сумма его углов равна $180^{\circ}$. Выразим все его углы через $\alpha$:

1. $\angle DMC = 90^{\circ} - \frac{\alpha}{2}$ (как мы нашли выше).
2. $\angle MDC = 45^{\circ}$ (дано по условию).
3. $\angle MCD$ — это угол $C$ параллелограмма. В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому $\angle C = \angle A = 2\alpha$.

Составим уравнение, приравняв сумму углов треугольника $DMC$ к $180^{\circ}$:
$\angle DMC + \angle MCD + \angle MDC = 180^{\circ}$
$(90^{\circ} - \frac{\alpha}{2}) + 2\alpha + 45^{\circ} = 180^{\circ}$

Решим полученное уравнение:
$135^{\circ} + \frac{3\alpha}{2} = 180^{\circ}$
$\frac{3\alpha}{2} = 180^{\circ} - 135^{\circ}$
$\frac{3\alpha}{2} = 45^{\circ}$
$3\alpha = 90^{\circ}$
$\alpha = 30^{\circ}$

Зная значение $\alpha$, найдем углы параллелограмма $ABCD$:

$\angle A = \angle C = 2\alpha = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}$.
Сумма соседних углов параллелограмма равна $180^{\circ}$, поэтому:
$\angle B = \angle D = 180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

Ответ: $60^{\circ}$, $120^{\circ}$, $60^{\circ}$, $120^{\circ}$.