Номер 2.30, страница 18 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.30. Через каждую вершину треугольника $ABC$ проведена прямая, параллельная противолежащей стороне. Сумма периметров всех образовавшихся параллелограммов равна $100$ см. Найдите периметр треугольника $ABC$.

2.30. Через каждую вершину треугольника $ABC$ проведена прямая, параллельная противолежащей стороне. Сумма периметров всех образовавшихся параллелограммов равна 100 см. Найдите периметр треугольника $ABC$.

Обозначим стороны треугольника $ABC$ как $a, b, c$, где $a = BC$, $b = AC$ и $c = AB$. Периметр треугольника $ABC$, который нам нужно найти, равен $P_{ABC} = a + b + c$.

По условию задачи, через каждую вершину треугольника проведена прямая, параллельная противолежащей стороне.

• Через вершину $A$ проведена прямая, параллельная стороне $BC$.
• Через вершину $B$ проведена прямая, параллельная стороне $AC$.
• Через вершину $C$ проведена прямая, параллельная стороне $AB$.

Эти прямые, пересекаясь, образуют три параллелограмма. Давайте определим их и найдем их периметры.

1. Параллелограмм, образованный сторонами $AB$, $AC$ и пересекающимися параллельными прямыми, проведенными через вершины $B$ и $C$.
Пусть прямая, проходящая через $B$, параллельна $AC$, а прямая, проходящая через $C$, параллельна $AB$. Четырехугольник, образованный вершинами $A, B, C$ и точкой пересечения этих прямых, является параллелограммом. Его стороны попарно равны сторонам треугольника $AB$ и $AC$. Длины сторон этого параллелограмма равны $c$ и $b$. Его периметр $P_1$ равен: $P_1 = 2(b+c)$.

2. Параллелограмм, образованный сторонами $AB$, $BC$ и соответствующими параллельными прямыми.
Аналогично, второй параллелограмм будет иметь стороны, равные по длине сторонам треугольника $AB$ и $BC$. Длины его сторон равны $c$ и $a$. Его периметр $P_2$ равен: $P_2 = 2(a+c)$.

3. Параллелограмм, образованный сторонами $AC$, $BC$ и соответствующими параллельными прямыми.
Третий параллелограмм будет иметь стороны, равные по длине сторонам треугольника $AC$ и $BC$. Длины его сторон равны $b$ и $a$. Его периметр $P_3$ равен: $P_3 = 2(a+b)$.

Сумма периметров всех трех параллелограммов по условию равна 100 см: $P_1 + P_2 + P_3 = 100$

Подставим выражения для периметров: $2(b+c) + 2(a+c) + 2(a+b) = 100$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые: $2b + 2c + 2a + 2c + 2a + 2b = 100$ $(2a+2a) + (2b+2b) + (2c+2c) = 100$ $4a + 4b + 4c = 100$

Вынесем общий множитель 4 за скобку: $4(a+b+c) = 100$

Так как $P_{ABC} = a+b+c$, мы получаем уравнение: $4 \cdot P_{ABC} = 100$

Отсюда находим периметр треугольника $ABC$: $P_{ABC} = \frac{100}{4} = 25$ см.

Ответ: 25 см.