Номер 2.24, страница 18 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.24. Докажите, что угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины тупого угла, равен острому углу параллелограмма.

2.24. Докажите, что угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины тупого угла, равен острому углу параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Обозначим его острый угол $\angle A = \alpha$, а тупой угол $\angle B = \beta$. По свойствам параллелограмма, сумма соседних углов равна $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 180^\circ$. Также, противолежащие углы равны, поэтому $\angle C = \alpha$ и $\angle D = \beta$.

Проведем из вершины тупого угла $B$ высоты $BH$ и $BK$ к прямым, содержащим стороны $AD$ и $CD$ соответственно.По определению высоты, $BH \perp AD$ и $BK \perp CD$. Это означает, что треугольники $ABH$ и $CBK$ являются прямоугольными, если высоты падают на сами стороны, или же мы получаем прямые углы $\angle BHD=90^\circ$ и $\angle BKD=90^\circ$, если рассматривать четырехугольник, образованный высотами и сторонами.

Рассмотрим четырехугольник $BKDH$. Сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$.В этом четырехугольнике нам известны углы:

• $\angle BKD = 90^\circ$ (так как $BK$ — высота)
• $\angle BHD = 90^\circ$ (так как $BH$ — высота)
• $\angle D$ является углом параллелограмма, равным тупому углу $\beta$.

Сумма углов четырехугольника $BKDH$ равна:$\angle HBK + \angle BKD + \angle KDH + \angle DHB = 360^\circ$Подставим известные значения:$\angle HBK + 90^\circ + \beta + 90^\circ = 360^\circ$$\angle HBK + \beta = 360^\circ - 180^\circ$$\angle HBK + \beta = 180^\circ$

Из этого уравнения выразим угол между высотами $\angle HBK$:$\angle HBK = 180^\circ - \beta$

Мы знаем, что сумма острого и тупого углов параллелограмма равна $180^\circ$:$\alpha + \beta = 180^\circ$Отсюда острый угол $\alpha = 180^\circ - \beta$.

Сравнивая два полученных выражения, мы видим, что:$\angle HBK = \alpha$

Таким образом, мы доказали, что угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу параллелограмма.Ответ: Что и требовалось доказать.