Номер 2.22, страница 18 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.22. Биссектриса острого угла параллелограмма делит его сторону в отношении 3 : 5, считая от вершины тупого угла. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 66 см.

2.22. Биссектриса острого угла параллелограмма делит его сторону в отношении $3 : 5$, считая от вершины тупого угла. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 66 см.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, в котором $\angle A$ — острый угол, а $\angle B$ — тупой. Пусть $AK$ — биссектриса угла $A$, пересекающая сторону $BC$ в точке $K$.

Поскольку в параллелограмме противоположные стороны параллельны ($AD \parallel BC$), а $AK$ является секущей, то накрест лежащие углы $\angle DAK$ и $\angle BKA$ равны. Так как $AK$ — биссектриса, то $\angle DAK = \angle BAK$. Отсюда следует, что $\angle BAK = \angle BKA$.

Равенство углов $\angle BAK$ и $\angle BKA$ в треугольнике $ABK$ означает, что этот треугольник является равнобедренным с основанием $AK$. Следовательно, его боковые стороны равны: $AB = BK$.

По условию задачи, биссектриса делит сторону $BC$ в отношении $3:5$, считая от вершины тупого угла $B$, то есть $BK : KC = 3:5$. Обозначим одну часть отношения как $x$, тогда $BK = 3x$ и $KC = 5x$.

Из равенства $AB = BK$ следует, что сторона $AB = 3x$. Длина смежной стороны $BC$ равна сумме отрезков: $BC = BK + KC = 3x + 5x = 8x$.

Периметр параллелограмма равен 66 см. Используя формулу периметра $P = 2(AB+BC)$, составим уравнение:

$2(3x + 8x) = 66$

$2(11x) = 66$

$22x = 66$

$x = \frac{66}{22} = 3$ см.

Теперь можем найти длины сторон параллелограмма:

Меньшая сторона: $AB = 3x = 3 \cdot 3 = 9$ см.

Большая сторона: $BC = 8x = 8 \cdot 3 = 24$ см.

Ответ: 9 см и 24 см.