Номер 2.26, страница 18 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.26. Угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины острого угла, в 4 раза больше этого угла. Найдите углы параллелограмма.

2.26. Угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины острого угла, в 4 раза больше этого угла. Найдите углы параллелограмма.

Пусть в параллелограмме острый угол равен $α$. Тогда смежный с ним тупой угол равен $180° - α$. Углы параллелограмма, таким образом, равны $α$ и $180° - α$.

Пусть из вершины острого угла $A$ параллелограмма $ABCD$ проведены высоты $AH$ к стороне $CD$ и $AK$ к стороне $BC$. По определению высоты, $AH \perp CD$ и $AK \perp BC$. Угол между этими высотами — это $∠HAK$.

Рассмотрим четырехугольник $AKCH$. Сумма его внутренних углов равна $360°$. Угол $∠KCH$ совпадает с углом $∠C$ параллелограмма, который противоположен углу $A$, а значит $∠KCH = ∠A = α$. Поскольку $AK$ и $AH$ — высоты, они перпендикулярны прямым, содержащим стороны $BC$ и $CD$, поэтому углы четырехугольника при вершинах $K$ и $H$ прямые: $∠AKC = 90°$ и $∠AHC = 90°$.

Запишем сумму углов четырехугольника $AKCH$:

$∠HAK + ∠AKC + ∠KCH + ∠CHA = 360°$

Подставим известные значения:

$∠HAK + 90° + α + 90° = 360°$

Выразим из этого уравнения угол между высотами $∠HAK$:

$∠HAK + α + 180° = 360°$

$∠HAK = 180° - α$

Согласно условию задачи, угол между высотами в 4 раза больше этого острого угла, то есть:

$∠HAK = 4α$

Приравняем два полученных выражения для угла $∠HAK$ и решим уравнение относительно $α$:

$4α = 180° - α$

$5α = 180°$

$α = \frac{180°}{5}$

$α = 36°$

Итак, мы нашли острый угол параллелограмма, он равен $36°$. Теперь найдем тупой угол:

$180° - α = 180° - 36° = 144°$

Следовательно, углы параллелограмма — это два острых угла по $36°$ и два тупых угла по $144°$.

Ответ: $36°, 144°, 36°, 144°$.