Номер 2.21, страница 17 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.21. Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$. Найдите периметр данного параллелограмма, если $AB = 12$ см, $MC = 16$ см.

2.21. Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$. Найдите периметр данного параллелограмма, если $AB = 12$ см, $MC = 16$ см.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$.

Рассмотрим параллельные прямые $AD$ и $BC$ и секущую $AM$. Углы $\angle DAM$ и $\angle BMA$ являются накрест лежащими, следовательно, они равны: $\angle DAM = \angle BMA$.

По условию, $AM$ — биссектриса угла $A$, поэтому она делит угол $\angle BAD$ на два равных угла: $\angle DAM = \angle BAM$.

Из двух предыдущих равенств следует, что $\angle BMA = \angle BAM$.

Рассмотрим треугольник $ABM$. Так как в нем два угла равны ($\angle BMA = \angle BAM$), то треугольник $ABM$ является равнобедренным с основанием $AM$. В равнобедренном треугольнике боковые стороны, противолежащие равным углам, равны. Следовательно, $AB = BM$.

Из условия задачи известно, что $AB = 12$ см. Значит, и $BM = 12$ см.

Сторона $BC$ параллелограмма состоит из двух отрезков: $BM$ и $MC$. Найдем ее полную длину, сложив длины этих отрезков:
$BC = BM + MC = 12 \text{ см} + 16 \text{ см} = 28 \text{ см}$.

Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме длин его смежных сторон. В нашем случае это стороны $AB$ и $BC$.
$P_{ABCD} = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (12 + 28) = 2 \cdot 40 = 80$ см.

Ответ: 80 см.