Номер 2.19, страница 17 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.19. Вне параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, параллельная его диагонали $BD$. Эта прямая пересекает прямые $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ в точках $E$, $M$, $F$ и $K$ соответственно. Докажите, что $MK = EF$.

2.19. Вне параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, параллельная его диагонали $BD$. Эта прямая пересекает прямые $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ в точках $E$, $M$, $F$ и $K$ соответственно. Докажите, что $MK = EF$.

Для доказательства рассмотрим два четырехугольника, которые можно построить на основе данных в задаче: $BDEF$ и $BDMK$.

Сначала проанализируем четырехугольник $BDEF$. Его сторона $EF$ находится на прямой, которая по условию параллельна диагонали $BD$ параллелограмма $ABCD$. Следовательно, стороны $EF$ и $BD$ параллельны ($EF \parallel BD$). Стороны $BE$ и $DF$ этого четырехугольника лежат на прямых $AB$ и $CD$ соответственно. Поскольку $ABCD$ — это параллелограмм, его противоположные стороны $AB$ и $CD$ параллельны. Отсюда следует, что и отрезки $BE$ и $DF$ также параллельны ($BE \parallel DF$).Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Таким образом, $BDEF$ — это параллелограмм. Из свойства параллелограмма следует, что его противоположные стороны равны и сонаправлены. В виде векторов это можно записать как $\vec{EF} = \vec{BD}$.

Теперь проанализируем четырехугольник $BDMK$. Его сторона $MK$ лежит на прямой, параллельной диагонали $BD$, поэтому $MK \parallel BD$. Стороны $BM$ и $DK$ лежат на прямых $BC$ и $AD$ соответственно. В параллелограмме $ABCD$ стороны $BC$ и $AD$ параллельны, а значит, и отрезки $BM$ и $DK$ параллельны ($BM \parallel DK$).Следовательно, четырехугольник $BDMK$ также является параллелограммом, так как его противоположные стороны попарно параллельны. Из этого следует, что $\vec{MK} = \vec{BD}$.

Из анализа обоих четырехугольников мы получили два векторных равенства: $\vec{EF} = \vec{BD}$ и $\vec{MK} = \vec{BD}$. Отсюда следует, что $\vec{MK} = \vec{EF}$. Равенство векторов означает, что они имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Следовательно, длины отрезков $MK$ и $EF$ равны: $MK = EF$.

Ответ: Утверждение, что $MK = EF$, доказано.