Номер 2.20, страница 17 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.20. Параллельно диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая отрезки $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$, а прямые $AD$ и $CD$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Докажите, что $PM = NK$.

2.20. Параллельно диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая отрезки $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$, а прямые $AD$ и $CD$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Докажите, что $PM = NK$.

Для доказательства равенства отрезков $PM$ и $NK$ мы используем свойства параллелограмма и подобные треугольники.

1. Рассмотрим треугольники $ΔPAM$ и $ΔNBM$.

Прямые $AB$ и $PK$ пересекаются в точке $M$. Углы $∠PMA$ и $∠NMB$ являются вертикальными, а значит, они равны: $∠PMA = ∠NMB$.

По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Поскольку точка $P$ лежит на прямой $AD$, а точки $N$ и $B$ — на прямой $BC$, то прямые $AP$ и $BN$ параллельны ($AP \parallel BN$).

Прямая $AB$ является секущей для параллельных прямых $AP$ и $BN$. Углы $∠PAM$ и $∠NBM$ являются накрест лежащими при этих параллельных прямых и секущей, следовательно, они равны: $∠PAM = ∠NBM$.

Таким образом, треугольники $ΔPAM$ и $ΔNBM$ подобны по двум углам (признак подобия AA). Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{PM}{MN} = \frac{AM}{MB}$

Отсюда мы можем выразить длину отрезка $PM$:

$PM = MN \cdot \frac{AM}{MB}$

2. Рассмотрим треугольники $ΔMNB$ и $ΔKNC$.

Прямые $BC$ и $PK$ пересекаются в точке $N$. Углы $∠MNB$ и $∠KNC$ являются вертикальными, следовательно, они равны: $∠MNB = ∠KNC$.

В параллелограмме $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$). Поскольку точка $K$ лежит на прямой $CD$, то $AB \parallel KC$.

Рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $KC$ и секущую $BC$. Угол $∠MBN$ (тот же, что и $∠ABC$) и угол $∠BCD$ являются внутренними односторонними углами, их сумма равна $180°$: $∠ABC + ∠BCD = 180°$.

Угол $∠KCN$ является смежным с углом $∠BCD$, поэтому их сумма также равна $180°$: $∠KCN + ∠BCD = 180°$.

Сравнивая эти два равенства, получаем, что $∠ABC = ∠KCN$, или $∠MBN = ∠KCN$.

Таким образом, треугольники $ΔMNB$ и $ΔKNC$ подобны по двум углам (признак подобия AA). Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{NK}{MN} = \frac{NC}{NB}$

Отсюда мы можем выразить длину отрезка $NK$:

$NK = MN \cdot \frac{NC}{NB}$

3. Используем условие параллельности прямой $PK$ и диагонали $AC$.

По условию задачи прямая, содержащая отрезок $MN$, параллельна диагонали $AC$ ($MN \parallel AC$).

Рассмотрим $∠ABC$ и пересекающие его стороны параллельные прямые $MN$ и $AC$. По теореме о пропорциональных отрезках (обобщённой теореме Фалеса), получаем соотношение:

$\frac{BM}{AM} = \frac{BN}{CN}$

Перевернём эту пропорцию, чтобы получить отношение $\frac{AM}{BM}$:

$\frac{AM}{BM} = \frac{CN}{BN}$

4. Заключение.

Теперь сравним выражения для $PM$ и $NK$, полученные в пунктах 1 и 2:

$PM = MN \cdot \frac{AM}{MB}$

$NK = MN \cdot \frac{NC}{NB}$

Из пункта 3 мы знаем, что $\frac{AM}{MB} = \frac{CN}{BN}$. Следовательно, правые части выражений для $PM$ и $NK$ равны.

Таким образом, $PM = NK$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $PM = NK$ доказано.