Номер 2.16, страница 17 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.16. Докажите, что любой отрезок, который проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма и концы которого принадлежат противоположащим сторонам параллелограмма, делится этой точкой пополам.

2.16. Докажите, что любой отрезок, который проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма и концы которого принадлежат противоположащим сторонам параллелограмма, делится этой точкой пополам.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, точка $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$. Пусть через точку $O$ проходит отрезок $MN$, концы которого принадлежат противолежащим сторонам параллелограмма. Без ограничения общности, пусть точка $M$ лежит на стороне $BC$, а точка $N$ — на стороне $AD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AON$ и $\triangle COM$.

1. По свойству диагоналей параллелограмма, они точкой пересечения делятся пополам, следовательно, $AO = CO$.

2. Углы $\angle AON$ и $\angle COM$ равны, так как они являются вертикальными.

3. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Прямая $AC$ является секущей к этим параллельным прямым. Следовательно, внутренние накрест лежащие углы $\angle OAN$ (тот же угол, что и $\angle CAD$) и $\angle OCM$ (тот же угол, что и $\angle BCA$) равны.

Таким образом, треугольники $\triangle AON$ и $\triangle COM$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $NO$ в треугольнике $\triangle AON$ соответствует стороне $MO$ в треугольнике $\triangle COM$, следовательно, $NO = MO$.

Это означает, что точка $O$ делит отрезок $MN$ пополам, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.