Номер 2.12, страница 17 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.12. Угол между высотой $BH$ параллелограмма $ABCD$ и биссектрисой $BM$ угла $ABC$ равен $24^\circ$. Найдите углы параллелограмма.

2.12. Угол между высотой $BH$ параллелограмма $ABCD$ и биссектрисой $BM$ угла $ABC$ равен $24^{\circ}$. Найдите углы параллелограмма.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. $BH$ — высота, проведенная к стороне $AD$, а $BM$ — биссектриса угла $\angle ABC$. По условию, угол между ними $\angle HBM = 24^\circ$.

Рассмотрим два возможных случая, зависящих от того, является ли угол $\angle A$ параллелограмма острым или тупым.

Случай 1: Угол $\angle A$ — острый.

Если угол $\angle A$ острый, то смежный с ним угол $\angle B = 180^\circ - \angle A$ — тупой. В этом случае основание высоты $H$, опущенной из вершины $B$ на прямую $AD$, лежит на стороне $AD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$ (где $\angle BHA = 90^\circ$). Сумма острых углов в нем равна $90^\circ$, поэтому $\angle ABH + \angle BAH = 90^\circ$. Поскольку $\angle BAH$ — это угол $\angle A$ параллелограмма, получаем: $\angle ABH = 90^\circ - \angle A$.

Так как $BM$ — биссектриса угла $\angle ABC$, она делит его пополам: $\angle ABM = \frac{1}{2}\angle ABC = \frac{\angle B}{2}$.

Поскольку $\angle A < 90^\circ$ и $\angle B > 90^\circ$, луч $BH$ проходит между лучами $BA$ и $BM$. Следовательно, угол между высотой и биссектрисой равен разности углов $\angle ABM$ и $\angle ABH$: $\angle HBM = \angle ABM - \angle ABH$.

Подставим известные выражения: $24^\circ = \frac{\angle B}{2} - (90^\circ - \angle A)$.

Используя свойство параллелограмма $\angle A + \angle B = 180^\circ$, заменим $\angle A$ на $180^\circ - \angle B$: $24^\circ = \frac{\angle B}{2} - (90^\circ - (180^\circ - \angle B)) = \frac{\angle B}{2} - (90^\circ - 180^\circ + \angle B) = \frac{\angle B}{2} - (-90^\circ + \angle B) = \frac{\angle B}{2} + 90^\circ - \angle B$.

Упростим и решим уравнение: $24^\circ = 90^\circ - \frac{\angle B}{2}$. $\frac{\angle B}{2} = 90^\circ - 24^\circ = 66^\circ$. $\angle B = 2 \cdot 66^\circ = 132^\circ$.

Теперь найдем остальные углы: $\angle A = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 132^\circ = 48^\circ$. Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому $\angle C = \angle A = 48^\circ$ и $\angle D = \angle B = 132^\circ$. Эти значения согласуются с нашим предположением ($\angle A$ — острый, $\angle B$ — тупой).

Случай 2: Угол $\angle A$ — тупой.

Если угол $\angle A$ тупой, то смежный с ним угол $\angle B$ — острый. В этом случае основание высоты $H$ лежит на продолжении стороны $AD$ за вершину $A$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. Угол $\angle BAH$ является смежным с углом $\angle A$ параллелограмма, значит $\angle BAH = 180^\circ - \angle A$. Из $\triangle ABH$ находим: $\angle ABH = 90^\circ - \angle BAH = 90^\circ - (180^\circ - \angle A) = \angle A - 90^\circ$.

В данном случае луч $BA$ лежит между лучами $BH$ и $BM$. Тогда: $\angle HBM = \angle ABH + \angle ABM = (\angle A - 90^\circ) + \frac{\angle B}{2}$.

Заменяя $\angle A = 180^\circ - \angle B$, получаем: $24^\circ = (180^\circ - \angle B - 90^\circ) + \frac{\angle B}{2} = 90^\circ - \angle B + \frac{\angle B}{2} = 90^\circ - \frac{\angle B}{2}$.

Решая уравнение, снова получаем: $\frac{\angle B}{2} = 90^\circ - 24^\circ = 66^\circ$, откуда $\angle B = 132^\circ$.

Этот результат ($\angle B = 132^\circ$) противоречит исходному предположению, что угол $\angle B$ острый. Следовательно, этот случай невозможен.

Единственное решение соответствует первому случаю. Ответ: углы параллелограмма равны $48^\circ, 132^\circ, 48^\circ, 132^\circ$.