Номер 2.6, страница 16 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.6. Найдите углы параллелограмма, если:

1) один из них равен 70°;

2) сумма двух его углов равна 100°;

3) разность двух его углов равна 20°;

4) два его угла относятся как $3:7$.

2.6. Найдите углы параллелограмма, если:

1) один из них равен $70^\circ$;

2) сумма двух его углов равна $100^\circ$;

3) разность двух его углов равна $20^\circ$;

4) два его угла относятся как $3 : 7$.

Для решения этой задачи воспользуемся основными свойствами углов параллелограмма:

• Противоположные углы равны.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180°$.

1) один из них равен 70°

Пусть один из углов параллелограмма равен $70°$. Противоположный ему угол также равен $70°$, так как противоположные углы параллелограмма равны.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180°$. Пусть смежный с ним угол равен $\alpha$. Тогда:

$\alpha + 70° = 180°$

$\alpha = 180° - 70° = 110°$

Четвертый угол противоположен углу в $110°$ и, следовательно, также равен $110°$.

Таким образом, углы параллелограмма равны $70°, 110°, 70°, 110°$.

Ответ: $70°, 110°, 70°, 110°$.

2) сумма двух его углов равна 100°

Рассмотрим два угла. Они могут быть либо прилежащими к одной стороне, либо противоположными.

Если бы углы были прилежащими, их сумма была бы равна $180°$. По условию она равна $100°$, значит, этот вариант невозможен.

Следовательно, эти углы — противоположные. Противоположные углы параллелограмма равны. Пусть каждый из этих углов равен $\alpha$. Тогда:

$\alpha + \alpha = 100°$

$2\alpha = 100°$

$\alpha = 50°$

Итак, два угла параллелограмма равны по $50°$. Найдем два других угла. Пусть другой угол равен $\beta$. Он является прилежащим к углу в $50°$, поэтому их сумма равна $180°$.

$\beta + 50° = 180°$

$\beta = 180° - 50° = 130°$

Два других угла равны по $130°$.

Ответ: $50°, 130°, 50°, 130°$.

3) разность двух его углов равна 20°

Разность двух углов равна $20°$. Эти углы не могут быть противоположными, так как противоположные углы равны, и их разность была бы равна $0$. Следовательно, это углы, прилежащие к одной стороне.

Пусть один угол равен $\alpha$, а другой $\beta$. Мы знаем, что их сумма равна $180°$, а разность (по условию) равна $20°$. Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} \alpha + \beta = 180° \\ \alpha - \beta = 20° \end{cases}$

Сложим два уравнения:

$(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 180° + 20°$

$2\alpha = 200°$

$\alpha = 100°$

Подставим значение $\alpha$ в первое уравнение, чтобы найти $\beta$:

$100° + \beta = 180°$

$\beta = 180° - 100° = 80°$

Таким образом, углы параллелограмма равны $100°, 80°, 100°, 80°$.

Ответ: $100°, 80°, 100°, 80°$.

4) два его угла относятся как 3 : 7

Два угла относятся как $3 : 7$. Эти углы не могут быть противоположными, так как противоположные углы равны (их отношение $1 : 1$). Следовательно, это углы, прилежащие к одной стороне.

Пусть один угол равен $3x$, а другой $7x$. Так как они прилежащие, их сумма равна $180°$.

$3x + 7x = 180°$

$10x = 180°$

$x = 18°$

Теперь найдем величины углов:

Первый угол: $3x = 3 \cdot 18° = 54°$.

Второй угол: $7x = 7 \cdot 18° = 126°$.

Углы параллелограмма равны $54°, 126°, 54°, 126°$.

Ответ: $54°, 126°, 54°, 126°$.