Номер 2.11, страница 17 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.11. Найдите углы параллелограмма ABCD, если $BD \perp AB$ и $BD = AB$.

2.11. Найдите углы параллелограмма $ABCD$, если $BD \perp AB$ и $BD = AB$.

Рассмотрим треугольник $ABD$, образованный сторонами $AB$, $AD$ и диагональю $BD$ параллелограмма $ABCD$.
По условию задачи, диагональ $BD$ перпендикулярна стороне $AB$. Это означает, что угол между ними прямой: $\angle ABD = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $ABD$ является прямоугольным, где $AB$ и $BD$ — катеты, а $AD$ — гипотенуза.
Также по условию дано, что $BD = AB$. Так как катеты прямоугольного треугольника $ABD$ равны, то этот треугольник является равнобедренным.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В данном случае основанием является гипотенуза $AD$, значит, углы $\angle BAD$ и $\angle BDA$ равны.
Сумма углов любого треугольника составляет $180^\circ$. Для $\triangle ABD$ можно записать:$\angle BAD + \angle BDA + \angle ABD = 180^\circ$.
Поскольку $\angle BAD = \angle BDA$ и $\angle ABD = 90^\circ$, получаем:$2 \cdot \angle BAD + 90^\circ = 180^\circ$.
$2 \cdot \angle BAD = 180^\circ - 90^\circ$.
$2 \cdot \angle BAD = 90^\circ$.
$\angle BAD = 45^\circ$.
Угол $\angle BAD$ является одним из углов параллелограмма, то есть $\angle A = 45^\circ$.
Теперь найдем остальные углы параллелограмма $ABCD$, используя его свойства:
1. Противоположные углы параллелограмма равны. Значит, $\angle C = \angle A = 45^\circ$.
2. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Значит, $\angle B + \angle A = 180^\circ$.Отсюда находим угол $\angle B$:$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.
3. Противоположный углу $\angle B$ угол $\angle D$ также равен $135^\circ$.
Таким образом, углы параллелограмма равны $45^\circ$, $135^\circ$, $45^\circ$ и $135^\circ$.
Ответ: $45^\circ, 135^\circ, 45^\circ, 135^\circ$.