Номер 2.14, страница 17 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.14. Один из углов параллелограмма равен $45^\circ$. Высота параллелограмма, проведённая из вершины тупого угла, равна 3 см и делит сторону параллелограмма пополам. Найдите эту сторону параллелограмма и углы, которые образует диагональ, соединяющая вершины тупых углов, со сторонами параллелограмма.

2.14. Один из углов параллелограмма равен $45^\circ$. Высота параллелограмма, проведённая из вершины тупого угла, равна 3 см и делит сторону параллелограмма пополам. Найдите эту сторону параллелограмма и углы, которые образует диагональ, соединяющая вершины тупых углов, со сторонами параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Согласно условию, один из его углов равен $45^{\circ}$. Пусть это будет острый угол, $\angle A = 45^{\circ}$. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^{\circ}$, поэтому тупой угол $\angle B = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$.

Из вершины тупого угла $B$ проведем высоту $BH$ к стороне $AD$. По условию, длина высоты $BH = 3$ см, и она делит сторону $AD$ пополам, то есть точка $H$ является серединой отрезка $AD$, и $AH = HD$.

Найдите эту сторону параллелограмма

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$ (так как $BH$ — высота, то $\angle AHB = 90^{\circ}$). В этом треугольнике нам известны два угла: $\angle A = 45^{\circ}$ и $\angle AHB = 90^{\circ}$. Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$, поэтому третий угол $\angle ABH$ равен: $\angle ABH = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$.

Поскольку два угла в треугольнике $\triangle ABH$ равны ($\angle A = \angle ABH = 45^{\circ}$), он является равнобедренным. Следовательно, стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $AH = BH$. Так как $BH = 3$ см, то и $AH = 3$ см.

По условию, высота $BH$ делит сторону $AD$ пополам, значит, $AD = 2 \cdot AH$. $AD = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Ответ: 6 см.

Найдите ... углы, которые образует диагональ, соединяющая вершины тупых углов, со сторонами параллелограмма

Диагональ, соединяющая вершины тупых углов — это $BD$. Нам нужно найти углы, которые она образует со сторонами параллелограмма, то есть $\angle ADB$ и $\angle ABD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BHD$ ($\angle BHD = 90^{\circ}$). Мы знаем длину катета $BH = 3$ см. Так как $H$ — середина $AD$, то $HD = AH = 3$ см. Поскольку катеты $BH$ и $HD$ равны, треугольник $\triangle BHD$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Углы при его основании $BD$ равны и их сумма составляет $90^{\circ}$. $\angle HDB = \angle HBD = 90^{\circ} / 2 = 45^{\circ}$.

Угол $\angle HDB$ — это и есть искомый угол $\angle ADB$. Таким образом, $\angle ADB = 45^{\circ}$.

Для нахождения второго угла, $\angle ABD$, рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Сумма его углов равна $180^{\circ}$. Мы уже знаем два угла: $\angle A = 45^{\circ}$ и $\angle ADB = 45^{\circ}$. Тогда: $\angle ABD = 180^{\circ} - (\angle A + \angle ADB) = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.

Следовательно, углы, которые образует диагональ со сторонами, равны $45^{\circ}$ и $90^{\circ}$.

Ответ: $45^{\circ}$ и $90^{\circ}$.