Номер 2.17, страница 17 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.17. Периметр параллелограмма $ABCD$ равен 24 см, $\angle ABC = 160^\circ$, диагональ $AC$ образует со стороной $AD$ угол $10^\circ$. Найдите стороны параллелограмма.

2.17. Периметр параллелограмма $ABCD$ равен 24 см, $\angle ABC = 160^\circ$, диагональ $AC$ образует со стороной $AD$ угол $10^\circ$. Найдите стороны параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$.

Периметр параллелограмма равен $P = 2(AB + AD)$. По условию, $P = 24$ см.
$2(AB + AD) = 24$ см,
$AB + AD = 12$ см.

По условию, $\angle ABC = 160^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $AD$ угол $10^\circ$, то есть $\angle CAD = 10^\circ$.

В параллелограмме $ABCD$ стороны $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Диагональ $AC$ является секущей. Углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$, следовательно, они равны:
$\angle BCA = \angle CAD = 10^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle BAC$:
$\angle BAC = 180^\circ - (\angle ABC + \angle BCA)$
$\angle BAC = 180^\circ - (160^\circ + 10^\circ) = 180^\circ - 170^\circ = 10^\circ$.

Так как в треугольнике $\triangle ABC$ два угла равны ($\angle BAC = \angle BCA = 10^\circ$), то он является равнобедренным, и стороны, лежащие против этих углов, равны:
$AB = BC$.

Мы знаем, что в параллелограмме противолежащие стороны равны, то есть $BC = AD$. Так как $AB = BC$, то и $AB = AD$. Это означает, что все стороны параллелограмма равны.

Вернемся к выражению для полупериметра:
$AB + AD = 12$ см.
Поскольку $AB = AD$, мы можем записать:
$AB + AB = 12$ см
$2 \cdot AB = 12$ см
$AB = 6$ см.

Следовательно, все стороны параллелограмма равны 6 см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 6 см и 6 см.