Номер 2.13, страница 17 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.13. Диагональ параллелограмма образует с его сторонами углы $30^\circ$ и $90^\circ$. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 36 см.

2.13. Диагональ параллелограмма образует с его сторонами углы $30^{\circ}$ и $90^{\circ}$. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 36 см.

Пусть дан параллелограмм ABCD со сторонами $a$ и $b$, где $AB = CD = a$ и $BC = AD = b$. Пусть диагональ AC образует со сторонами AB и AD, выходящими из вершины A, углы $30^\circ$ и $90^\circ$.

Рассмотрим два возможных случая расположения углов, хотя они приведут к одинаковому результату для длин сторон.Пусть $\angle BAC = 30^\circ$ и $\angle DAC = 90^\circ$.

Диагональ AC делит параллелограмм на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.Поскольку ABCD — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Прямая AC является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, накрест лежащие углы равны: $\angle BCA = \angle DAC$.Так как по нашему предположению $\angle DAC = 90^\circ$, то и $\angle BCA = 90^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Мы знаем два его угла:

• $\angle BAC = 30^\circ$ (по условию)
• $\angle BCA = 90^\circ$ (как накрест лежащий с $\angle DAC$)

Это означает, что $\triangle ABC$ является прямоугольным треугольником, где прямой угол — это $\angle BCA$.

В этом прямоугольном треугольнике стороны AB и BC являются сторонами параллелограмма ($a$ и $b$ соответственно). Сторона AB лежит напротив прямого угла C, следовательно, AB — гипотенуза. Сторона BC — катет, лежащий напротив угла $\angle BAC = 30^\circ$.

Известно, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Применительно к $\triangle ABC$ это означает:$BC = \frac{1}{2} AB$Используя наши обозначения для сторон параллелограмма:$b = \frac{1}{2} a$, или $a = 2b$.

Теперь воспользуемся информацией о периметре параллелограмма, который равен 36 см. Формула периметра:$P = 2(a+b)$Подставим известные значения:$36 = 2(a+b)$$a+b = 18$

Мы получили систему из двух уравнений для нахождения сторон $a$ и $b$:1. $a = 2b$2. $a + b = 18$

Подставим выражение для $a$ из первого уравнения во второе:$2b + b = 18$$3b = 18$$b = \frac{18}{3} = 6$ см.

Теперь найдем длину стороны $a$:$a = 2b = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Стороны параллелограмма равны 6 см и 12 см.

Ответ: 6 см, 12 см.