Номер 2.18, страница 17 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.18. Диагональ $BD$ параллелограмма $ABCD$ образует со стороной $AB$ угол $65^\circ$, $\angle C = 50^\circ$, $AB = 8$ см. Найдите периметр параллелограмма.

2.18. Диагональ $BD$ параллелограмма $ABCD$ образует со стороной $AB$ угол $65^{\circ}$, $\angle C=50^{\circ}$, $AB=8$ см. Найдите периметр параллелограмма.

Рассмотрим параллелограмм ABCD. По условию задачи нам дано:

• Угол, который диагональ BD образует со стороной AB, равен $∠ABD = 65°$.
• Угол $∠C = 50°$.
• Сторона $AB = 8$ см.

В параллелограмме противолежащие углы равны, поэтому угол A равен углу C:
$∠A = ∠C = 50°$.

Теперь рассмотрим треугольник ABD. В этом треугольнике нам известны два угла ($∠A$ и $∠ABD$) и сторона AB, прилежащая к этим углам.
Сумма углов в любом треугольнике равна $180°$. Найдем третий угол треугольника ABD, угол ADB:
$∠ADB = 180° - ∠A - ∠ABD$
$∠ADB = 180° - 50° - 65° = 65°$.

Мы видим, что в треугольнике ABD два угла равны: $∠ABD = ∠ADB = 65°$. Это означает, что треугольник ABD является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны.
Сторона AD лежит напротив угла ABD, а сторона AB лежит напротив угла ADB. Следовательно:
$AD = AB = 8$ см.

Теперь у нас есть длины двух смежных сторон параллелограмма: $AB = 8$ см и $AD = 8$ см. Периметр параллелограмма ($P$) равен удвоенной сумме длин его смежных сторон:
$P = 2 \cdot (AB + AD)$
$P = 2 \cdot (8 + 8) = 2 \cdot 16 = 32$ см.

Ответ: 32 см.