Номер 2.25, страница 18 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.25. Докажите, что угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины острого угла, равен тупому углу параллелограмма.

2.25. Докажите, что угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины острого угла, равен тупому углу параллелограмма.

Доказательство

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, в котором $∠A$ является острым углом. Следовательно, смежные с ним углы $∠B$ и $∠D$ являются тупыми, а противолежащий угол $∠C$ также является острым ($∠C = ∠A$). По свойству параллелограмма, сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180°$, то есть $∠C + ∠D = 180°$.

Проведем из вершины острого угла $A$ две высоты: $AH$ к прямой, содержащей сторону $DC$, и $AK$ к прямой, содержащей сторону $BC$. Поскольку угол $C$ (равный углу $A$) является острым, основания высот $H$ и $K$ будут лежать непосредственно на сторонах $DC$ и $BC$.

Согласно определению высоты, $AH$ перпендикулярна $DC$, а $AK$ перпендикулярна $BC$. Таким образом, мы имеем прямые углы: $∠AHC = 90°$ и $∠AKC = 90°$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $AKCH$. Сумма его внутренних углов составляет $360°$:
$∠HAK + ∠AKC + ∠KCH + ∠CHA = 360°$

Угол $∠KCH$ в этом четырехугольнике совпадает с углом $∠C$ параллелограмма. Подставим известные величины углов в формулу суммы углов четырехугольника:
$∠HAK + 90° + ∠C + 90° = 360°$
$∠HAK + ∠C + 180° = 360°$
$∠HAK = 360° - 180° - ∠C$
$∠HAK = 180° - ∠C$

Как было упомянуто ранее, для углов параллелограмма выполняется равенство $∠C + ∠D = 180°$. Из этого равенства выразим тупой угол $∠D$: $∠D = 180° - ∠C$.

Сравнивая выражения для $∠HAK$ и $∠D$, приходим к выводу:
$∠HAK = ∠D$

Так как $∠D$ — это тупой угол параллелограмма, мы доказали, что угол между высотами, проведенными из вершины острого угла, равен тупому углу параллелограмма.

Ответ: Что и требовалось доказать.