Номер 2.27, страница 18 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.27. Угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины тупого угла, равен $30^\circ$. Найдите периметр параллелограмма, если его высоты равны 4 см и 6 см.

2.27. Угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины тупого угла, равен $30^\circ$. Найдите периметр параллелограмма, если его высоты равны 4 см и 6 см.

Пусть дан параллелограмм, стороны которого равны $a$ и $b$, а острый угол равен $\alpha$. Высоты, проведенные из вершины тупого угла, равны $h_1 = 4$ см и $h_2 = 6$ см. Угол между этими высотами составляет $30^\circ$.

Угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу параллелограмма. Докажем это. Пусть из вершины тупого угла $B$ проведены высоты $BE$ и $BF$ к сторонам $AD$ и $CD$ соответственно. В прямоугольном треугольнике, образованном стороной $AB$, высотой $BE$ и частью стороны $AD$, угол $\angle ABE = 90^\circ - \alpha$. Аналогично, в треугольнике, образованном стороной $BC$ и высотой $BF$, угол $\angle CBF = 90^\circ - \alpha$. Тупой угол параллелограмма $\angle B = 180^\circ - \alpha$. Этот угол состоит из трех частей: $\angle B = \angle ABE + \angle EBF + \angle CBF$. Подставив выражения и заданное значение, получим:

$180^\circ - \alpha = (90^\circ - \alpha) + 30^\circ + (90^\circ - \alpha)$

$180^\circ - \alpha = 210^\circ - 2\alpha$

$2\alpha - \alpha = 210^\circ - 180^\circ$

$\alpha = 30^\circ$

Таким образом, острый угол параллелограмма равен $30^\circ$.

Теперь найдем длины сторон параллелограмма. Высота, опущенная на одну сторону, выражается через другую (смежную) сторону и синус угла между ними. Пусть $h_a$ и $h_b$ — высоты, опущенные на стороны $a$ и $b$ соответственно.

$h_a = b \cdot \sin\alpha$

$h_b = a \cdot \sin\alpha$

В нашем случае $\sin\alpha = \sin 30^\circ = 0.5$. Меньшая высота (4 см) соответствует большей стороне, а большая высота (6 см) — меньшей. Пусть одна сторона равна:

$a = \frac{6 \text{ см}}{\sin 30^\circ} = \frac{6}{0.5} = 12 \text{ см}$

Тогда другая сторона равна:

$b = \frac{4 \text{ см}}{\sin 30^\circ} = \frac{4}{0.5} = 8 \text{ см}$

Стороны параллелограмма равны 12 см и 8 см.

Периметр параллелограмма $P$ вычисляется как удвоенная сумма смежных сторон:

$P = 2(a + b) = 2(12 + 8) = 2 \cdot 20 = 40 \text{ см}$

Ответ: 40 см.