Номер 2.33, страница 18 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.33. На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ существует такая точка $M$, что $BM = MD = CD$. Найдите углы параллелограмма, если $AD = BD$.

2.33. На стороне BC параллелограмма ABCD существует такая точка M, что $BM = MD = CD$. Найдите углы параллелограмма, если $AD = BD$.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. На стороне $BC$ выбрана точка $M$ так, что $BM = MD = CD$. Также известно, что $AD = BD$.

1. Обозначим $\angle CBD = \alpha$. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Прямая $BD$ является секущей, следовательно, накрест лежащие углы $\angle ADB$ и $\angle CBD$ равны. Таким образом, $\angle ADB = \alpha$.

2. По условию $AD = BD$, следовательно, треугольник $\triangle ABD$ является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle BAD = \angle ABD$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle BAD = \angle ABD = \frac{180^\circ - \angle ADB}{2} = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

3. Угол $\angle A$ параллелограмма равен $\angle BAD$, то есть $\angle A = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Так как противоположные углы параллелограмма равны, $\angle C = \angle A = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

4. По условию $BM = MD$, следовательно, треугольник $\triangle BMD$ является равнобедренным с основанием $BD$. Углы при основании равны: $\angle MDB = \angle MBD$. Угол $\angle MBD$ совпадает с углом $\angle CBD$, поэтому $\angle MDB = \alpha$.

5. По условию $MD = CD$, следовательно, треугольник $\triangle MDC$ является равнобедренным. Углы, противолежащие равным сторонам, равны. Угол, противолежащий стороне $MD$, — это $\angle MCD$. Угол, противолежащий стороне $CD$, — это $\angle CMD$. Значит, $\angle CMD = \angle MCD$. Угол $\angle MCD$ — это угол $\angle C$ параллелограмма, т.е. $\angle MCD = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Таким образом, $\angle CMD = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Третий угол этого треугольника $\angle MDC = 180^\circ - (\angle MCD + \angle CMD) = 180^\circ - 2 \cdot (90^\circ - \frac{\alpha}{2}) = 180^\circ - 180^\circ + \alpha = \alpha$.

6. Теперь найдем полные углы $\angle B$ и $\angle D$ параллелограмма.
Угол $\angle B = \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = (90^\circ - \frac{\alpha}{2}) + \alpha = 90^\circ + \frac{\alpha}{2}$.
Угол $\angle D = \angle ADC = \angle ADB + \angle BDC$. Угол $\angle BDC = \angle BDM + \angle MDC = \alpha + \alpha = 2\alpha$.
Следовательно, $\angle D = \angle ADB + \angle BDC = \alpha + 2\alpha = 3\alpha$.

7. В параллелограмме противолежащие углы равны, значит $\angle B = \angle D$. Приравняем полученные выражения:$90^\circ + \frac{\alpha}{2} = 3\alpha$

8. Решим уравнение относительно $\alpha$:
$90^\circ = 3\alpha - \frac{\alpha}{2}$
$90^\circ = \frac{5\alpha}{2}$
$5\alpha = 180^\circ$
$\alpha = 36^\circ$

9. Найдем углы параллелограмма, подставив значение $\alpha$:
$\angle A = \angle C = 90^\circ - \frac{36^\circ}{2} = 90^\circ - 18^\circ = 72^\circ$.
$\angle B = \angle D = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.
Проверим через $\alpha$: $\angle D = 3\alpha = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$, что совпадает с нашим результатом.

Ответ: углы параллелограмма равны $72^\circ, 108^\circ, 72^\circ, 108^\circ$.