Номер 2.36, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.36. Постройте параллелограмм:

1) по двум сторонам и высоте;

2) по диагонали и двум высотам, проведённым к двум соседним сторонам.

2.36. Постройте параллелограмм:

1) по двум сторонам и высоте;

2) по диагонали и двум высотам, проведённым к двум соседним сторонам.

1) по двум сторонам и высоте;

Пусть даны длины двух смежных сторон параллелограмма $a$ и $b$, и длина высоты $h$. Высота в параллелограмме может быть проведена к любой из двух смежных сторон. Рассмотрим случай, когда данная высота $h$ проведена к стороне длиной $a$. Обозначим эту высоту как $h_a$. Пусть искомый параллелограмм — $ABCD$, где $AB = a$ и $AD = b$. Тогда высота, опущенная из вершины $D$ на прямую $AB$, равна $h$. В прямоугольном треугольнике, образованном вершиной $D$, вершиной $A$ и основанием высоты на прямой $AB$, сторона $AD=b$ является гипотенузой, а высота $h$ — катетом. Следовательно, для существования решения необходимо выполнение условия $b \ge h$.

План построения:
1. Провести произвольную прямую $l_1$.
2. Построить прямую $l_2$, параллельную $l_1$ и находящуюся на расстоянии $h$ от нее. Для этого можно выбрать на $l_1$ произвольную точку $P$, восставить в ней перпендикуляр, отложить на нем отрезок $PQ$ длиной $h$ и провести через точку $Q$ прямую $l_2$, параллельную $l_1$.
3. На прямой $l_1$ выбрать произвольную точку $A$.
4. С центром в точке $A$ провести окружность радиусом $b$. Так как $b \ge h$, эта окружность пересечет прямую $l_2$. Выбрать одну из точек пересечения и обозначить ее $D$. Мы получили сторону $AD$ длиной $b$.
5. На прямой $l_1$ отложить от точки $A$ отрезок $AB$ длиной $a$.
6. На прямой $l_2$ отложить от точки $D$ отрезок $DC$ длиной $a$ так, чтобы вектор $\vec{DC}$ был сонаправлен вектору $\vec{AB}$. Это можно сделать, проведя окружность радиуса $a$ с центром в точке $D$.
7. Соединить последовательно точки $A$, $B$, $C$ и $D$.

Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом. По построению, отрезки $AB$ и $DC$ параллельны (лежат на параллельных прямых) и равны по длине ($a$). Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм. Его стороны равны $AB=a$ и $AD=b$. Высота, проведенная к стороне $AB$, равна расстоянию между прямыми $l_1$ и $l_2$, то есть $h$.

Ответ: Построение, описанное выше, позволяет получить искомый параллелограмм. Если $b > h$, то задача имеет два решения (два симметричных параллелограмма), если $b=h$ — одно решение (прямоугольник).

2) по диагонали и двум высотам, проведённым к двум соседним сторонам.

Пусть дана длина диагонали $d$ и длины двух высот $h_a$ и $h_b$, проведенных к двум соседним сторонам $a$ и $b$ соответственно. Пусть искомый параллелограмм — $ABCD$, диагональ $AC = d$. Высота к стороне $AB$ равна $h_a$, а высота к стороне $BC$ равна $h_b$. Задача сводится к построению треугольника $ABC$, в котором известна сторона $AC=d$, высота, опущенная из вершины $A$ на прямую $BC$ (равная $h_b$), и высота, опущенная из вершины $C$ на прямую $AB$ (равная $h_a$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный вершинами $A, C$ и основанием высоты из $A$ на прямую $BC$. В этом треугольнике гипотенуза равна $AC=d$, а катет — $h_b$. Для возможности построения этого треугольника необходимо, чтобы $d \ge h_b$. Аналогично, рассматривая высоту из вершины $C$, получаем условие $d \ge h_a$. Будем считать, что эти условия выполнены.

План построения:
1. Сначала построим треугольник по гипотенузе и катету. Проведем произвольную прямую $l$. Выберем на ней точку $H_b$ (основание высоты). Восставим в точке $H_b$ перпендикуляр к прямой $l$ и отложим на нем отрезок $H_bA$ длиной $h_b$.
2. Из точки $A$ как из центра проведем окружность радиусом $d$. Точка пересечения этой окружности с прямой $l$ даст нам вершину $C$. Таким образом, мы построили вершины $A$ и $C$, а также прямую $l$, на которой лежит сторона $BC$.
3. Теперь необходимо найти вершину $B$. Точка $B$ лежит на прямой $l$. Также известно, что расстояние от вершины $C$ до прямой $AB$ равно $h_a$. Это означает, что прямая $AB$ является касательной к окружности с центром в $C$ и радиусом $h_a$.
4. Построим окружность с центром в точке $C$ и радиусом $h_a$.
5. Из точки $A$ проведем касательную к этой окружности. В общем случае таких касательных будет две, что приведет к двум разным решениям. Выберем одну из них.
6. Точка пересечения построенной касательной (которая является прямой $AB$) с прямой $l$ (которая является прямой $BC$) будет искомой вершиной $B$.
7. Зная три вершины параллелограмма $A, B, C$, четвертую вершину $D$ можно построить. Например, точка $D$ симметрична точке $B$ относительно середины диагонали $AC$. Или же можно провести через $A$ прямую, параллельную $BC$, и через $C$ — прямую, параллельную $AB$. Точка их пересечения и будет вершиной $D$.
8. Соединив вершины, получим искомый параллелограмм $ABCD$.

Ответ: Построение, описанное выше, позволяет получить искомый параллелограмм. Задача имеет решение, если $d \ge h_a$ и $d \ge h_b$. В общем случае существует до четырех различных (неконгруэнтных) решений.