Номер 2.41, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.41. В треугольнике $ABC$ сторона $AC$ наименьшая. На сторонах $AB$ и $CB$ отметили точки $K$ и $L$ соответственно так, что $KA = AC = CL$. Отрезки $AL$ и $KC$ пересекаются в точке $M$. Докажите, что $MJ \perp AC$, где $J$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$.

2.41. В треугольнике ABC сторона AC наименьшая. На сторонах AB и CB отметили точки K и L соответственно так, что $KA = AC = CL$. Отрезки AL и KC пересекаются в точке M. Докажите, что $MJ \perp AC$, где J — центр вписанной окружности треугольника ABC.

Обозначим углы треугольника $ABC$ как $\angle BAC = \alpha$, $\angle ABC = \beta$ и $\angle BCA = \gamma$.

По условию, на сторонах $AB$ и $CB$ отмечены точки $K$ и $L$ так, что $KA = AC$ и $CL = AC$.

Рассмотрим треугольник $AKC$. Так как $KA = AC$, он является равнобедренным с основанием $KC$. Углы при основании равны:$\angle AKC = \angle ACK = \frac{180^\circ - \angle KAC}{2} = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим треугольник $ALC$. Так как $CL = AC$, он является равнобедренным с основанием $AL$. Углы при основании равны:$\angle CAL = \angle CLA = \frac{180^\circ - \angle ACL}{2} = \frac{180^\circ - \gamma}{2} = 90^\circ - \frac{\gamma}{2}$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $AMCJ$, где $M$ — точка пересечения $AL$ и $KC$. Найдем его углы. В треугольнике $AMC$ имеем:$\angle MAC = \angle LAC = 90^\circ - \frac{\gamma}{2}$$\angle MCA = \angle KCA = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$Сумма углов в треугольнике $AMC$ равна $180^\circ$, поэтому третий угол равен:$\angle AMC = 180^\circ - \angle MAC - \angle MCA = 180^\circ - (90^\circ - \frac{\gamma}{2}) - (90^\circ - \frac{\alpha}{2}) = \frac{\alpha + \gamma}{2}$.

Точка $J$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$, следовательно, $J$ является точкой пересечения биссектрис углов. Таким образом:$\angle JAC = \frac{\alpha}{2}$$\angle JCA = \frac{\gamma}{2}$В треугольнике $AJC$ угол $\angle AJC$ равен:$\angle AJC = 180^\circ - \angle JAC - \angle JCA = 180^\circ - (\frac{\alpha}{2} + \frac{\gamma}{2}) = 180^\circ - \frac{\alpha + \gamma}{2}$.

Найдем сумму противоположных углов четырехугольника $AMCJ$:$\angle AMC + \angle AJC = \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right) + \left(180^\circ - \frac{\alpha + \gamma}{2}\right) = 180^\circ$.Поскольку сумма противоположных углов четырехугольника равна $180^\circ$, он является вписанным в окружность.

Так как четырехугольник $AMCJ$ вписанный, то углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Углы $\angle JMC$ и $\angle JAC$ опираются на дугу $JC$. Следовательно:$\angle JMC = \angle JAC = \frac{\alpha}{2}$.

Пусть отрезки $MJ$ и $AC$ пересекаются в точке $P$. Рассмотрим треугольник $MPC$. Сумма его углов равна $180^\circ$. Угол $\angle MPC$ можно выразить как:$\angle MPC = 180^\circ - \angle PMC - \angle PCM$.Мы знаем, что $\angle PMC = \angle JMC = \frac{\alpha}{2}$ и $\angle PCM = \angle MCA = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.Подставим эти значения:$\angle MPC = 180^\circ - \frac{\alpha}{2} - (90^\circ - \frac{\alpha}{2}) = 180^\circ - \frac{\alpha}{2} - 90^\circ + \frac{\alpha}{2} = 90^\circ$.

Так как угол $\angle MPC = 90^\circ$, то прямая $MJ$ перпендикулярна прямой $AC$, что и требовалось доказать.

Условие "сторона $AC$ наименьшая" ($AC \le AB$ и $AC \le CB$) обеспечивает, что точка $K$ лежит на отрезке $AB$ (так как $AK = AC \le AB$) и точка $L$ лежит на отрезке $CB$ (так как $CL = AC \le CB$), что делает данное геометрическое построение корректным.

Ответ: Утверждение доказано: $MJ \perp AC$.