Номер 2.42, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.42. Постройте параллелограмм по стороне, сумме диагоналей и углу между диагоналями.

2.42. Постройте параллелограмм по стороне, сумме диагоналей и углу между диагоналями.

Анализ

Пусть искомый параллелограмм $ABCD$ построен. Обозначим его сторону $AB = a$, сумму диагоналей $AC + BD = S$, и угол между диагоналями $\angle AOB = \alpha$, где $O$ — точка пересечения диагоналей.

Известно, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то есть $AO = OC = \frac{1}{2}AC$ и $BO = OD = \frac{1}{2}BD$.

Из условия $AC + BD = S$ следует, что $2AO + 2BO = S$, или $AO + BO = S/2$.

Таким образом, задача сводится к построению треугольника $AOB$ по стороне $AB=a$, противолежащему углу $\angle AOB = \alpha$ и сумме двух других сторон $AO + BO = S/2$.

Для построения такого треугольника воспользуемся методом вспомогательного треугольника. На луче $BO$ отложим отрезок $OK$, равный $OA$. Тогда треугольник $AOK$ — равнобедренный. Длина отрезка $BK$ будет равна $BO + OK = BO + OA = S/2$.

Угол $\angle AOB$ является внешним углом треугольника $AOK$. Так как треугольник $AOK$ равнобедренный ($OA=OK$), то его углы при основании равны: $\angle OAK = \angle OKA$. Величина внешнего угла равна сумме двух внутренних, не смежных с ним: $\angle AOB = \angle OAK + \angle OKA = 2\angle OKA$.

Отсюда находим, что $\angle OKA = \angle BKA = \alpha/2$.

Теперь мы можем построить вспомогательный треугольник $ABK$, так как в нем известны две стороны ($AB=a$, $BK=S/2$) и угол, противолежащий стороне $AB$ ($\angle BKA = \alpha/2$).

После построения треугольника $ABK$ можно найти положение точки $O$. Так как $OA=OK$, точка $O$ равноудалена от точек $A$ и $K$, а значит, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AK$. Кроме того, точка $O$ лежит на отрезке $BK$. Следовательно, $O$ — это точка пересечения серединного перпендикуляра к $AK$ и отрезка $BK$.

Зная положение вершин $A, B$ и точки пересечения диагоналей $O$, легко достроить весь параллелограмм.

Построение

1. Построить отрезок, равный $S/2$, разделив данный отрезок $S$ пополам. Построить угол, равный $\alpha/2$, построив биссектрису данного угла $\alpha$.

2. Провести произвольную прямую и отметить на ней точку $K$.

3. От точки $K$ на прямой отложить луч под углом $\alpha/2$ к ней.

4. На этом луче отложить отрезок $KB$, равный $S/2$.

5. С центром в точке $B$ провести окружность радиусом $a$ (длиной данной стороны).

6. Точку (или точки) пересечения этой окружности с прямой, построенной в шаге 2, обозначить как $A$. (Выбираем одну из точек, если их две).

7. Соединить точки $A$ и $K$ отрезком. Построить серединный перпендикуляр к отрезку $AK$.

8. Точка пересечения этого серединного перпендикуляра с отрезком $BK$ есть точка $O$.

9. Провести прямую $AO$ и отложить на ней за точкой $O$ отрезок $OC = AO$.

10. Провести прямую $BO$ и отложить на ней за точкой $O$ отрезок $OD = BO$.

11. Последовательно соединить точки $A, B, C, D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом.

Доказательство

Построенный четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, так как его диагонали $AC$ и $BD$ по построению (шаги 9, 10) пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам.

Сторона $AB$ равна $a$ по построению (шаг 5).

Найдем угол между диагоналями $\angle AOB$. Точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $AK$ (шаг 7, 8), поэтому треугольник $AOK$ — равнобедренный с $OA = OK$. Угол $\angle AOB$ — внешний угол этого треугольника. Следовательно, $\angle AOB = \angle OAK + \angle OKA = 2\angle OKA$. По построению (шаг 3) $\angle OKA = \angle BKA = \alpha/2$. Таким образом, $\angle AOB = 2 \cdot (\alpha/2) = \alpha$.

Найдем сумму диагоналей. Диагонали равны $AC = 2OA$ и $BD = 2OB$. Их сумма $AC+BD = 2(OA+OB)$. Так как $OA=OK$ и точка $O$ лежит на отрезке $BK$, то $OA+OB = OK+OB = BK$. По построению (шаг 4) $BK = S/2$. Следовательно, сумма диагоналей равна $2 \cdot (S/2) = S$.

Таким образом, построенный параллелограмм $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Построение возможно, если на шаге 6 окружность радиуса $a$ с центром в $B$ пересекает прямую, на которой лежит точка $A$. Это зависит от соотношения между $a$, $S/2$ и $\alpha/2$.

Пусть $h$ — расстояние от точки $B$ до прямой $AK$. В прямоугольном треугольнике, образованном точкой $B$, ее проекцией на прямую $AK$ и точкой $K$, $h = BK \cdot \sin(\angle BKA) = (S/2)\sin(\alpha/2)$.

Кроме того, для существования треугольника $AOB$ должно выполняться неравенство треугольника: $AO + BO > AB$, что означает $S/2 > a$.

Объединяя условия, получаем:

1. Если $a < (S/2)\sin(\alpha/2)$ или $a \ge S/2$, задача не имеет решений.

2. Если $a = (S/2)\sin(\alpha/2)$ (и при этом $a < S/2$), то окружность касается прямой, точка $A$ единственна, и задача имеет одно решение.

3. Если $(S/2)\sin(\alpha/2) < a < S/2$, то окружность пересекает прямую в двух точках. Это дает два разных вспомогательных треугольника, и, следовательно, задача имеет два решения (два различных, но не равных параллелограмма).

Ответ: Построение выполняется согласно приведенному алгоритму. Задача может иметь ноль, одно или два решения в зависимости от соотношения данных величин.