Номер 2.48, страница 20 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.48. Через каждую вершину параллелограмма проведена прямая, перпендикулярная диагонали, не проходящей через эту вершину (рис. 2.10). Докажите, что диагонали четырёхугольника, образованного пересечениями четырёх проведённых прямых, перпендикулярны сторонам параллелограмма.

Рис. 2.10

2.48. Через каждую вершину параллелограмма проведена прямая, перпендикулярная диагонали, не проходящей через эту вершину (рис. 2.10). Докажите, что диагонали четырёхугольника, образованного пересечениями четырёх проведённых прямых, перпендикулярны сторонам параллелограмма.

Рис. 2.10

Для решения задачи используем векторный метод. Пусть $ABCD$ — исходный параллелограмм. Выберем центр параллелограмма (точку пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$) в качестве начала координат $O$.

Пусть $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$. Тогда в силу свойств параллелограмма, вершины будут иметь следующие радиус-векторы: $A(\vec{a})$, $B(\vec{b})$, $C(-\vec{a})$, $D(-\vec{b})$.

Вектор диагонали $AC$ коллинеарен вектору $\vec{a}$, а вектор диагонали $BD$ коллинеарен вектору $\vec{b}$. Векторы сторон параллелограмма: $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ и $\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = -\vec{a} - \vec{b}$.

По условию, через каждую вершину проведена прямая, перпендикулярная диагонали, не проходящей через эту вершину. Опишем эти четыре прямые уравнениями в векторной форме. Пусть $\vec{r}$ — радиус-вектор произвольной точки на прямой.

• Прямая $l_A$, проходящая через точку $A(\vec{a})$ и перпендикулярная диагонали $BD$ (вектору $\vec{b}$): $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{b} = 0$, что равносильно $\vec{r} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b}$.
• Прямая $l_B$, проходящая через точку $B(\vec{b})$ и перпендикулярная диагонали $AC$ (вектору $\vec{a}$): $(\vec{r} - \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$, что равносильно $\vec{r} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{b}$.
• Прямая $l_C$, проходящая через точку $C(-\vec{a})$ и перпендикулярная диагонали $BD$ (вектору $\vec{b}$): $(\vec{r} - (-\vec{a})) \cdot \vec{b} = 0$, что равносильно $\vec{r} \cdot \vec{b} = -\vec{a} \cdot \vec{b}$.
• Прямая $l_D$, проходящая через точку $D(-\vec{b})$ и перпендикулярная диагонали $AC$ (вектору $\vec{a}$): $(\vec{r} - (-\vec{b})) \cdot \vec{a} = 0$, что равносильно $\vec{r} \cdot \vec{a} = -\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Четырехугольник, о котором идет речь в задаче, образован пересечениями этих прямых. Найдем радиус-векторы его вершин. Обозначим вершины нового четырехугольника $KLMN$, где:

• $K = l_D \cap l_A$: радиус-вектор $\vec{k}$ удовлетворяет системе: $\begin{cases} \vec{k} \cdot \vec{a} = -\vec{a} \cdot \vec{b} \\ \vec{k} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} \end{cases}$
• $L = l_A \cap l_B$: радиус-вектор $\vec{l}$ удовлетворяет системе: $\begin{cases} \vec{l} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{b} \\ \vec{l} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} \end{cases}$
• $M = l_B \cap l_C$: радиус-вектор $\vec{m}$ удовлетворяет системе: $\begin{cases} \vec{m} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{b} \\ \vec{m} \cdot \vec{b} = -\vec{a} \cdot \vec{b} \end{cases}$
• $N = l_C \cap l_D$: радиус-вектор $\vec{n}$ удовлетворяет системе: $\begin{cases} \vec{n} \cdot \vec{a} = -\vec{a} \cdot \vec{b} \\ \vec{n} \cdot \vec{b} = -\vec{a} \cdot \vec{b} \end{cases}$

Нам нужно доказать, что диагонали четырехугольника $KLMN$ перпендикулярны сторонам параллелограмма $ABCD$. То есть, нужно проверить перпендикулярность векторов $\vec{LN}$ и $\vec{KM}$ векторам сторон $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$.

Доказательство перпендикулярности диагонали $LN$ и стороны $AB$

Вектор диагонали $LN$ равен $\vec{LN} = \vec{n} - \vec{l}$. Вектор стороны $AB$ равен $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$. Для доказательства перпендикулярности найдем их скалярное произведение:

$\vec{LN} \cdot \vec{AB} = (\vec{n} - \vec{l}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = \vec{n} \cdot \vec{b} - \vec{n} \cdot \vec{a} - \vec{l} \cdot \vec{b} + \vec{l} \cdot \vec{a}$

Подставим значения из систем уравнений для векторов $\vec{n}$ и $\vec{l}$:

$= (-\vec{a} \cdot \vec{b}) - (-\vec{a} \cdot \vec{b}) - (\vec{a} \cdot \vec{b}) + (\vec{a} \cdot \vec{b})$

$= -\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{LN}$ и $\vec{AB}$ перпендикулярны, т.е. $LN \perp AB$.

Доказательство перпендикулярности диагонали $KM$ и стороны $BC$

Вектор диагонали $KM$ равен $\vec{KM} = \vec{m} - \vec{k}$. Вектор стороны $BC$ равен $\vec{BC} = -\vec{a} - \vec{b}$. Найдем их скалярное произведение:

$\vec{KM} \cdot \vec{BC} = (\vec{m} - \vec{k}) \cdot (-\vec{a} - \vec{b}) = -(\vec{m} \cdot \vec{a} + \vec{m} \cdot \vec{b} - \vec{k} \cdot \vec{a} - \vec{k} \cdot \vec{b})$

Подставим значения из систем уравнений для векторов $\vec{m}$ и $\vec{k}$:

$= - ((\vec{a} \cdot \vec{b}) + (-\vec{a} \cdot \vec{b}) - (-\vec{a} \cdot \vec{b}) - (\vec{a} \cdot \vec{b}))$

$= - (\vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{b}) = - (0) = 0$

Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{KM}$ и $\vec{BC}$ перпендикулярны, т.е. $KM \perp BC$.

Таким образом, доказано, что диагонали четырехугольника, образованного пересечениями четырёх проведённых прямых, перпендикулярны сторонам исходного параллелограмма.

Ответ: Что и требовалось доказать.