Номер 2.46, страница 20 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.46. Отрезки $AB$ и $CD$ длиной 1 пересекаются в точке $O$ так, что $\angle AOC = 60^\circ$. Докажите, что $AC + BD \ge 1$.

2.46. Отрезки $AB$ и $CD$ длиной 1 пересекаются в точке $O$ так, что $\angle AOC = 60^\circ$. Докажите, что $AC + BD \ge 1$.

Для доказательства используем метод векторной алгебры и геометрических построений.

Доказательство:

Рассмотрим отрезки $AB$ и $CD$, которые пересекаются в точке $O$. По условию, их длины равны 1, то есть $AB = 1$ и $CD = 1$. Угол между отрезками $\angle AOC = 60^\circ$. Точка $O$ лежит на обоих отрезках, поэтому $AO+OB=AB=1$ и $CO+OD=CD=1$.

Выполним параллельный перенос отрезка $BD$ на вектор $\vec{CA}$. При таком переносе точка $C$ перейдет в точку $A$, а точка $D$ — в некоторую точку $E$.

Таким образом, мы построили отрезок $AE$, который является образом отрезка $CD$ при параллельном переносе на вектор $\vec{DC}$. Нет, это неверное описание. Давайте сформулируем построение точнее.

Построим точку $E$ так, чтобы четырехугольник $ACDE$ был параллелограммом. Это означает, что $\vec{AC} = \vec{ED}$. Из свойств параллелограмма следует, что $AE = CD = 1$ и $AC = ED$.

Теперь рассмотрим сумму $AC+BD$. Заменив $AC$ на равный ему отрезок $ED$, мы получаем $ED+BD$.

Применим неравенство треугольника к треугольнику $BDE$:$BD + DE \ge BE$.Следовательно, $AC + BD \ge BE$.

Теперь наша задача — найти длину отрезка $BE$. Для этого воспользуемся векторами. Выразим вектор $\vec{BE}$ через векторы, связанные с исходной конфигурацией.$\vec{BE} = \vec{BA} + \vec{AE}$.

По нашему построению, $ACDE$ — параллелограмм, значит $\vec{AE} = \vec{CD}$.Тогда $\vec{BE} = \vec{BA} + \vec{CD}$.

Найдем квадрат длины вектора $\vec{BE}$:$BE^2 = |\vec{BE}|^2 = |\vec{BA} + \vec{CD}|^2$.Используя свойство скалярного произведения, получаем:$BE^2 = (\vec{BA} + \vec{CD}) \cdot (\vec{BA} + \vec{CD}) = |\vec{BA}|^2 + |\vec{CD}|^2 + 2(\vec{BA} \cdot \vec{CD})$.

По условию, длины отрезков $AB$ и $CD$ равны 1, поэтому длины векторов $|\vec{BA}| = 1$ и $|\vec{CD}| = 1$.Скалярное произведение векторов $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$ равно произведению их длин на косинус угла между ними:$\vec{BA} \cdot \vec{CD} = |\vec{BA}| \cdot |\vec{CD}| \cdot \cos\theta$, где $\theta$ — угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$.

Определим угол $\theta$.Вектор $\vec{BA}$ направлен от точки $B$ к точке $A$.Вектор $\vec{CD}$ направлен от точки $C$ к точке $D$.Поскольку точка $O$ лежит между $A$ и $B$, вектор $\vec{BA}$ сонаправлен с вектором $\vec{OA}$.Поскольку точка $O$ лежит между $C$ и $D$, вектор $\vec{CD}$ противоположен по направлению вектору $\vec{OC}$ и сонаправлен вектору $\vec{OD}$.Угол между векторами $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$ равен $\angle AOC = 60^\circ$.Угол между векторами $\vec{OA}$ и $\vec{OD}$ является смежным с углом $\angle AOC$, поэтому $\angle AOD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.Таким образом, угол $\theta$ между вектором $\vec{BA}$ (сонаправленным с $\vec{OA}$) и вектором $\vec{CD}$ (сонаправленным с $\vec{OD}$) равен $\angle AOD = 120^\circ$.

Теперь мы можем вычислить скалярное произведение:$\vec{BA} \cdot \vec{CD} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$.

Подставим это значение в формулу для $BE^2$:$BE^2 = 1^2 + 1^2 + 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 + 1 - 1 = 1$.

Отсюда следует, что длина отрезка $BE = \sqrt{1} = 1$.

Возвращаясь к неравенству $AC + BD \ge BE$, мы получаем:$AC + BD \ge 1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.