Номер 2.40, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.40. Окружность, вписанная в треугольник, касается его сторон $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно в точках $C_1$, $A_1$ и $B_1$. Через точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ проведены прямые, параллельные биссектрисам углов $A$, $B$ и $C$ соответственно. Докажите, что проведённые прямые пересекаются в одной точке.

2.40. Окружность, вписанная в треугольник, касается его сторон $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно в точках $C_1$, $A_1$ и $B_1$. Через точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ проведены прямые, параллельные биссектрисам углов $A$, $B$ и $C$ соответственно. Докажите, что проведённые прямые пересекаются в одной точке.

Обозначим данный треугольник как $ABC$. Пусть $I$ — центр вписанной окружности (инцентр), а $A_1, B_1, C_1$ — точки касания этой окружности со сторонами $BC, AC$ и $AB$ соответственно. Биссектрисы углов $A, B, C$ треугольника $ABC$ проходят через инцентр $I$ и представляют собой прямые $AI, BI, CI$.

По условию задачи, через точки $A_1, B_1, C_1$ проведены прямые, которые мы обозначим $m_A, m_B, m_C$, так, что:

• прямая $m_A$ проходит через точку $A_1$ и параллельна биссектрисе $AI$;
• прямая $m_B$ проходит через точку $B_1$ и параллельна биссектрисе $BI$;
• прямая $m_C$ проходит через точку $C_1$ и параллельна биссектрисе $CI$.

Необходимо доказать, что прямые $m_A, m_B, m_C$ пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Мы докажем, что прямые $m_A, m_B, m_C$ являются высотами треугольника $A_1B_1C_1$, образованного точками касания. Так как высоты любого треугольника всегда пересекаются в одной точке (ортоцентре), это докажет утверждение задачи.

1. Рассмотрим прямую $m_A$. По построению, она проходит через вершину $A_1$ треугольника $A_1B_1C_1$. Чтобы $m_A$ была высотой, она должна быть перпендикулярна противолежащей стороне $B_1C_1$. По условию, прямая $m_A$ параллельна биссектрисе $AI$ ($m_A \parallel AI$). Следовательно, нам достаточно доказать, что $AI \perp B_1C_1$.

Рассмотрим треугольник $AB_1C_1$. Отрезки $AC_1$ и $AB_1$ являются касательными к вписанной окружности, проведенными из одной вершины $A$. По свойству касательных, их длины равны: $AC_1 = AB_1$. Таким образом, треугольник $AB_1C_1$ является равнобедренным с основанием $B_1C_1$. Прямая $AI$ является биссектрисой угла $\angle A$ (вершинного угла $\angle C_1AB_1$). В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Следовательно, $AI$ перпендикулярна основанию $B_1C_1$, то есть $AI \perp B_1C_1$. Поскольку $m_A \parallel AI$ и $AI \perp B_1C_1$, то и $m_A \perp B_1C_1$. Итак, прямая $m_A$ является высотой треугольника $A_1B_1C_1$, проведенной из вершины $A_1$.

2. Рассмотрим прямые $m_B$ и $m_C$. Аналогичные рассуждения применяются и для двух других прямых.

Для прямой $m_B$: она проходит через вершину $B_1$ треугольника $A_1B_1C_1$ и параллельна биссектрисе $BI$. В равнобедренном треугольнике $BC_1A_1$ (где $BC_1 = BA_1$ как касательные из точки $B$) биссектриса $BI$ является высотой к основанию $C_1A_1$. Значит, $BI \perp C_1A_1$. Так как $m_B \parallel BI$, то и $m_B \perp C_1A_1$. Следовательно, $m_B$ — высота треугольника $A_1B_1C_1$ из вершины $B_1$.

Для прямой $m_C$: она проходит через вершину $C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$ и параллельна биссектрисе $CI$. В равнобедренном треугольнике $CA_1B_1$ (где $CA_1 = CB_1$ как касательные из точки $C$) биссектриса $CI$ является высотой к основанию $A_1B_1$. Значит, $CI \perp A_1B_1$. Так как $m_C \parallel CI$, то и $m_C \perp A_1B_1$. Следовательно, $m_C$ — высота треугольника $A_1B_1C_1$ из вершины $C_1$.

Таким образом, три заданные прямые $m_A, m_B, m_C$ являются тремя высотами треугольника $A_1B_1C_1$. Известно, что три высоты любого треугольника пересекаются в одной точке.

Следовательно, проведённые прямые пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Проведённые прямые являются высотами треугольника, образованного точками касания ($A_1B_1C_1$), и, следовательно, пересекаются в одной точке, которая является ортоцентром этого треугольника.