Номер 2.35, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.35. Постройте параллелограмм:

1) по стороне, проведённой к ней высоте и диагонали;

2) по острому углу и двум высотам, проведённым к двум соседним сторонам.

2.35. Постройте параллелограмм:

1) по стороне, проведённой к ней высоте и диагонали;

2) по острому углу и двум высотам, проведённым к двум соседним сторонам.

Пусть даны отрезки, соответствующие стороне параллелограмма $a$, проведённой к ней высоте $h_a$ и диагонали $d$. Требуется построить параллелограмм $ABCD$ по этим элементам. Для определённости будем считать, что нам дана сторона $AD = a$ и диагональ $AC = d$.

Анализ:
Пусть искомый параллелограмм $ABCD$ построен. Сторона $AD$ имеет длину $a$. Противоположная сторона $BC$ параллельна $AD$ и находится на расстоянии $h_a$ от неё. Таким образом, вершина $C$ лежит на прямой, параллельной $AD$ и отстоящей от неё на $h_a$. Также, вершина $C$ находится на расстоянии $d$ от вершины $A$. Следовательно, точка $C$ является точкой пересечения окружности с центром в $A$ радиусом $d$ и прямой, параллельной $AD$ на расстоянии $h_a$. Зная три вершины $A, D, C$, можно однозначно построить четвертую вершину $B$.

Построение:

1. Начертим произвольную прямую $m$ и отложим на ней отрезок $AD$, равный по длине данной стороне $a$.
2. Построим прямую $l$, параллельную прямой $m$ и находящуюся на расстоянии $h_a$ от нее. (Для этого можно в любой точке прямой $m$, например, в точке $A$, восставить перпендикуляр, отложить на нем отрезок длиной $h_a$ и через его конец провести прямую $l$ параллельно $m$). Вершины $B$ и $C$ будут лежать на этой прямой $l$.
3. Построим окружность с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине диагонали $d$.
4. Точка пересечения этой окружности и прямой $l$ даст нам вершину $C$. В зависимости от соотношения длин $d$ и $h_a$ возможны следующие случаи:
   • Если $d < h_a$, решений нет, так как окружность и прямая не пересекаются.
   • Если $d = h_a$, решение единственно (параллелограмм будет прямоугольником), так как окружность касается прямой.
   • Если $d > h_a$, будет две точки пересечения, что соответствует двум зеркально-симметричным решениям. Выберем одну из них и обозначим ее $C$.
5. Для нахождения четвертой вершины $B$ воспользуемся тем, что в параллелограмме $ABCD$ вектор $\vec{AB}$ равен вектору $\vec{DC}$. Построим через точку $A$ прямую, параллельную отрезку $DC$. Точка пересечения этой прямой с прямой $l$ и будет искомой вершиной $B$. Также можно построить окружность с центром в точке $D$ и радиусом $AB$ (который равен $DC$) и найти ее пересечение с прямой $l$. Более простой способ: так как $\vec{BC} = \vec{AD}$, нужно отложить от точки $C$ на прямой $l$ отрезок длиной $a$ в направлении, противоположном вектору $\vec{CD}$.
6. Соединим точки $A, B, C, D$ отрезками. Полученный четырехугольник $ABCD$ — искомый параллелограмм.

(Примечание: если бы была дана диагональ $BD=d$, то на шаге 3 мы бы строили окружность с центром в точке $D$ и радиусом $d$, находя таким образом вершину $B$.)

Ответ: Построение выполнено согласно приведенному алгоритму. Задача имеет решение, если длина диагонали не меньше длины высоты ($d \ge h_a$).

Пусть дан острый угол $\alpha$ и две высоты $h_a$ и $h_b$, опущенные на соседние стороны $a$ и $b$ параллелограмма соответственно.

Анализ:
Пусть искомый параллелограмм $ABCD$ имеет стороны $AD=a$ и $AB=b$, а угол между ними $\angle DAB = \alpha$. Высота, опущенная из вершины $B$ на сторону $AD$, равна $h_a$. Высота, опущенная из вершины $D$ на сторону $AB$, равна $h_b$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный стороной $b$, высотой $h_a$ и частью стороны $a$. В этом треугольнике $\sin(\alpha) = \frac{h_a}{b}$, откуда $b = \frac{h_a}{\sin(\alpha)}$. Аналогично, для другого прямоугольного треугольника, образованного стороной $a$ и высотой $h_b$, имеем $\sin(\alpha) = \frac{h_b}{a}$, откуда $a = \frac{h_b}{\sin(\alpha)}$. Таким образом, задача сводится к построению отрезков $a$ и $b$ по известной высоте и противолежащему углу, а затем — к построению параллелограмма по двум сторонам и углу между ними.

Построение:

1. Построение стороны $a$.
   • Построим прямоугольный треугольник с острым углом $\alpha$ и противолежащим ему катетом, равным $h_b$.
   • Для этого начертим прямую и в произвольной точке $L$ восставим к ней перпендикуляр.
   • На перпендикуляре отложим отрезок $LD$, равный $h_b$.
   • Из точки $D$ проведем луч так, чтобы он образовывал с лучом $DL$ угол $90^\circ - \alpha$.
   • Точка пересечения этого луча с исходной прямой будет вершиной $A$. В полученном прямоугольном треугольнике $\triangle ALD$ угол $\angle DAL = \alpha$. Длина гипотенузы $AD$ будет равна искомой стороне $a = \frac{h_b}{\sin(\alpha)}$.
2. Построение стороны $b$.
   • Аналогично п.1 построим отрезок длиной $b$, используя высоту $h_a$. То есть, строим прямоугольный треугольник с катетом $h_a$, противолежащим углу $\alpha$. Его гипотенуза будет равна $b$.
3. Построение параллелограмма.
   • Имея отрезки $a$ и $b$ и угол $\alpha$, строим параллелограмм.
   • Начертим луч с началом в точке $A'$. Отложим на нем отрезок $A'D'$, равный построенной стороне $a$.
   • От луча $A'D'$ отложим угол, равный данному углу $\alpha$.
   • На второй стороне угла отложим от точки $A'$ отрезок $A'B'$, равный построенной стороне $b$.
   • Чтобы найти четвертую вершину $C'$, построим дугу окружности с центром в $D'$ и радиусом $b$ и дугу окружности с центром в $B'$ и радиусом $a$.
   • Точка пересечения этих дуг даст вершину $C'$.
   • Соединим точки $A', B', C', D'$ отрезками. Четырехугольник $A'B'C'D'$ — искомый параллелограмм.

Ответ: Искомый параллелограмм построен путем нахождения его сторон через построение вспомогательных прямоугольных треугольников и последующего построения по двум сторонам и углу между ними.