Номер 2.29, страница 18 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.29. Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные его боковым сторонам. Докажите, что периметр образовавшегося четырёхугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника.

2.29. Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные его боковым сторонам. Докажите, что периметр образовавшегося четырёхугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Это означает, что его боковые стороны равны, $AB = BC$, и углы при основании также равны, $\angle BAC = \angle BCA$.

Выберем на основании $AC$ произвольную точку $D$. Через эту точку проведём две прямые:

• прямую $DF$, параллельную стороне $BC$ (точка $F$ лежит на стороне $AB$);
• прямую $DE$, параллельную стороне $AB$ (точка $E$ лежит на стороне $BC$).

В результате образуется четырёхугольник $BFDE$.

Рассмотрим свойства образовавшегося четырёхугольника $BFDE$. По построению, его противоположные стороны попарно параллельны: $DF \parallel BE$ (так как $DF \parallel BC$) и $DE \parallel FB$ (так как $DE \parallel AB$). Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, $BFDE$ — параллелограмм.

Периметр параллелограмма $BFDE$ вычисляется как сумма длин всех его сторон: $P_{BFDE} = BF + FD + DE + EB$.

Теперь рассмотрим треугольники, образовавшиеся по углам основания.

1. Треугольник $AFD$.
Поскольку $DF \parallel BC$, углы $\angle ADF$ и $\angle BCA$ являются соответственными при параллельных прямых $DF$, $BC$ и секущей $AC$. Значит, $\angle ADF = \angle BCA$. Так как в исходном треугольнике $ABC$ углы при основании равны ($\angle BAC = \angle BCA$), то мы получаем, что в треугольнике $AFD$ углы при его основании $AD$ равны: $\angle FAD = \angle BAC = \angle BCA = \angle ADF$. Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Следовательно, треугольник $AFD$ — равнобедренный, и $AF = DF$.

2. Треугольник $DEC$.
Поскольку $DE \parallel AB$, углы $\angle CDE$ и $\angle BAC$ являются соответственными при параллельных прямых $DE$, $AB$ и секущей $AC$. Значит, $\angle CDE = \angle BAC$. Так как $\angle BAC = \angle BCA$ (или $\angle DCE$), то в треугольнике $DEC$ углы при его основании $DC$ равны: $\angle CDE = \angle DCE$. Следовательно, треугольник $DEC$ также является равнобедренным, и $DE = CE$.

Вернёмся к вычислению периметра четырёхугольника $BFDE$: $P_{BFDE} = BF + FD + DE + EB$. Используя равенства, которые мы доказали ($DF = AF$ и $DE = CE$), подставим их в формулу периметра: $P_{BFDE} = BF + AF + CE + EB$.

Сгруппируем слагаемые: $P_{BFDE} = (BF + AF) + (CE + EB)$. Поскольку точка $F$ лежит на отрезке $AB$, то сумма $BF + AF$ равна длине стороны $AB$. Аналогично, поскольку точка $E$ лежит на отрезке $BC$, то сумма $CE + EB$ равна длине стороны $BC$. Таким образом, мы получаем: $P_{BFDE} = AB + BC$.

Мы доказали, что периметр образовавшегося четырёхугольника равен сумме длин боковых сторон данного равнобедренного треугольника.

Ответ: Периметр образовавшегося четырёхугольника равен $AB + BC$, то есть сумме боковых сторон данного равнобедренного треугольника. Утверждение доказано.