Номер 2.32, страница 18 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.32. Точка пересечения биссектрис двух соседних углов параллелограмма принадлежит его стороне. Найдите отношение соседних сторон параллелограмма.

2.32. Точка пересечения биссектрис двух соседних углов параллелограмма принадлежит его стороне. Найдите отношение соседних сторон параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Обозначим длины его смежных сторон как $AB = CD = a$ и $AD = BC = b$. Пусть биссектрисы смежных углов $\angle A$ и $\angle B$ пересекаются в точке $K$. Согласно условию задачи, точка $K$ принадлежит стороне параллелограмма. Так как биссектрисы проведены из углов $A$ и $B$, их точка пересечения $K$ может лежать только на противоположной стороне $CD$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ADK$. В параллелограмме $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$). Прямая $AK$ является секущей для этих параллельных прямых. Внутренние накрест лежащие углы при секущей равны, следовательно, $\angle BAK = \angle DKA$.Поскольку $AK$ является биссектрисой угла $\angle A$, то по определению $\angle DAK = \angle BAK$.Из двух полученных равенств следует, что $\angle DAK = \angle DKA$.Треугольник, в котором два угла равны, является равнобедренным. Таким образом, треугольник $\triangle ADK$ — равнобедренный с основанием $AK$, и его боковые стороны равны: $AD = DK$. Так как по нашему обозначению $AD = b$, то и $DK = b$.

Аналогично рассмотрим треугольник $\triangle BCK$. Прямые $AB$ и $CD$ параллельны, а $BK$ — секущая. Внутренние накрест лежащие углы $\angle ABK$ и $\angle CKB$ равны: $\angle ABK = \angle CKB$.Поскольку $BK$ является биссектрисой угла $\angle B$, то $\angle CBK = \angle ABK$.Следовательно, $\angle CBK = \angle CKB$.Это означает, что треугольник $\triangle BCK$ является равнобедренным с основанием $BK$. Значит, его боковые стороны равны: $BC = CK$. Так как $BC = b$, то и $CK = b$.

Точка $K$ лежит на стороне $CD$, поэтому длина стороны $CD$ равна сумме длин отрезков $DK$ и $CK$:$CD = DK + CK$.Длины противоположных сторон параллелограмма равны, поэтому $CD = AB = a$. Подставим известные нам значения в равенство:$a = b + b$$a = 2b$.

Это означает, что одна смежная сторона параллелограмма в два раза длиннее другой. Отношение длин смежных сторон ($b$ к $a$) составляет $b/a = b/(2b) = 1/2$.
Ответ: 1:2.