Номер 2.28, страница 18 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.28. Высоты параллелограмма, проведённые из вершины острого угла, образуют угол $150^\circ$, стороны параллелограмма равны 10 см и 18 см. Найдите высоты параллелограмма.

2.28. Высоты параллелограмма, проведённые из вершины острого угла, образуют угол $150^\circ$, стороны параллелограмма равны 10 см и 18 см. Найдите высоты параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм, стороны которого равны $a = 18$ см и $b = 10$ см. Пусть $h_a$ и $h_b$ — высоты, проведенные к этим сторонам соответственно.

1. Нахождение углов параллелограмма.
Пусть высоты проведены из вершины острого угла $A$. Одна высота, $h_1$, опущена на сторону $BC$ (или ее продолжение), а другая, $h_2$, — на сторону $CD$ (или ее продолжение). Обозначим основания высот как $E$ и $F$ на прямых $CD$ и $BC$ соответственно. Таким образом, $AE \perp CD$ и $AF \perp BC$.

Рассмотрим четырехугольник $AFCE$. В нем углы при вершинах $F$ и $E$ прямые, так как $AF$ и $AE$ — высоты: $\angle AFC = 90^\circ$ и $\angle AEC = 90^\circ$. Угол $\angle FAE$ — это угол между высотами, который по условию равен $150^\circ$. Угол $\angle FCE$ этого четырехугольника совпадает с углом $\angle C$ параллелограмма.

Сумма углов в любом выпуклом четырехугольнике равна $360^\circ$. Для четырехугольника $AFCE$ имеем:
$\angle FAE + \angle AFC + \angle FCE + \angle AEC = 360^\circ$
Подставим известные значения:
$150^\circ + 90^\circ + \angle C + 90^\circ = 360^\circ$
$330^\circ + \angle C = 360^\circ$
$\angle C = 360^\circ - 330^\circ = 30^\circ$

В параллелограмме противолежащие углы равны. Так как $\angle C = 30^\circ$, то острый угол параллелограмма равен $30^\circ$.

2. Нахождение высот параллелограмма.
Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin \alpha$, где $\alpha$ — угол между сторонами $a$ и $b$.
$S = 18 \cdot 10 \cdot \sin(30^\circ) = 180 \cdot \frac{1}{2} = 90$ см².

Площадь параллелограмма также можно найти через произведение стороны на высоту, опущенную на эту сторону: $S = a \cdot h_a$ и $S = b \cdot h_b$.

Найдем высоту $h_a$, проведенную к стороне $a = 18$ см:
$h_a = \frac{S}{a} = \frac{90}{18} = 5$ см.

Найдем высоту $h_b$, проведенную к стороне $b = 10$ см:
$h_b = \frac{S}{b} = \frac{90}{10} = 9$ см.

Таким образом, высоты параллелограмма равны 5 см и 9 см.

Ответ: 5 см и 9 см.