Номер 2.23, страница 18 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.23. В параллелограмме $ABCD$ $AD = 12$ см, $AB = 3$ см, биссектрисы углов $B$ и $C$ пересекают сторону $AD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите отрезок $EF$.

2.23. В параллелограмме $ABCD$ $AD = 12$ см, $AB = 3$ см, биссектрисы углов $B$ и $C$ пересекают сторону $AD$ в точках $E$ и $F$ соответствен- но. Найдите отрезок $EF$.

Рассмотрим треугольник $ABE$. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Прямая $BE$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, углы $\angle CBE$ и $\angle AEB$ равны как накрест лежащие углы: $\angle CBE = \angle AEB$.

По условию задачи, $BE$ — биссектриса угла $B$, поэтому она делит угол $\angle ABC$ на два равных угла: $\angle ABE = \angle CBE$. Из равенств $\angle CBE = \angle AEB$ и $\angle ABE = \angle CBE$ следует, что $\angle ABE = \angle AEB$. Это означает, что треугольник $ABE$ является равнобедренным с основанием $BE$. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, следовательно, $AE = AB$. По условию $AB = 3$ см, значит, $AE = 3$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $DCF$. Аналогично, так как $BC \parallel AD$ и $CF$ — секущая, углы $\angle BCF$ и $\angle DFC$ равны как накрест лежащие: $\angle BCF = \angle DFC$. По условию, $CF$ — биссектриса угла $C$, поэтому $\angle BCF = \angle DCF$. Отсюда следует, что $\angle DCF = \angle DFC$. Таким образом, треугольник $DCF$ является равнобедренным с основанием $CF$, и его боковые стороны равны: $DF = DC$.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны, поэтому $DC = AB = 3$ см. Следовательно, $DF = 3$ см.

Точки $E$ и $F$ лежат на стороне $AD$. Длина отрезка $AD$ по условию равна 12 см. Отрезок $AD$ можно представить как сумму длин составляющих его отрезков: $AD = AE + EF + FD$. Чтобы найти $EF$, нужно из длины всего отрезка $AD$ вычесть длины отрезков $AE$ и $DF$: $EF = AD - AE - DF$ Подставим известные значения: $EF = 12 - 3 - 3 = 6$ см.

Ответ: 6 см.