Номер 2.31, страница 18 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.31. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Постройте параллелограмм, вершинами которого являются данные точки. Сколько решений имеет задача?

2.31. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Постройте параллелограмм, вершинами которого являются данные точки. Сколько решений имеет задача?

Пусть даны три точки $A$, $B$ и $C$, не лежащие на одной прямой. Чтобы построить параллелограмм, для которого эти точки являются вершинами, необходимо найти положение четвертой вершины $D$. Задача имеет три решения, так как существует три способа сгруппировать три данные вершины. В каждом решении одна из сторон треугольника $ABC$ становится диагональю параллелограмма.

Случай 1: Построен параллелограмм $ABCD_1$
В этом параллелограмме отрезок $AC$ является диагональю. Для его построения необходимо через точку $A$ провести прямую, параллельную отрезку $BC$, и через точку $C$ провести прямую, параллельную отрезку $AB$. Точка пересечения этих двух прямых и будет четвертой вершиной $D_1$.

Случай 2: Построен параллелограмм $ABDC_2$
Здесь диагональю является отрезок $BC$. Построение аналогично: через точку $B$ проводим прямую, параллельную $AC$, а через точку $C$ — прямую, параллельную $AB$. Их пересечение даст вершину $D_2$.

Случай 3: Построен параллелограмм $ACBD_3$
В этом случае диагональ — отрезок $AB$. Для построения проводим прямую через $A$, параллельную $BC$, и прямую через $B$, параллельную $AC$. Точка их пересечения — вершина $D_3$.

Поскольку исходные точки $A, B, C$ не коллинеарны, все три построенные вершины $D_1, D_2, D_3$ будут различными, и, соответственно, мы получим три разных параллелограмма.

Ответ: Задача имеет 3 решения. Построение каждого из трех возможных параллелограммов сводится к нахождению четвертой вершины. Это можно сделать, проведя через две из данных точек прямые, параллельные отрезкам, соединяющим другие пары точек, до их пересечения, как описано выше для каждого из трех случаев.