Номер 2.38, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.38. Через вершины $A$, $B$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ проведены прямые, перпендикулярные прямым $BD$, $BC$ и $CD$ соответственно.

Докажите, что проведенные прямые пересекаются в одной точке.

2.38. Через вершины $A$, $B$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ проведены прямые, перпендикулярные прямым $BD$, $BC$ и $CD$ соответственно. Докажите, что проведённые прямые пересекаются в одной точке.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Докажем, что три прямые, упомянутые в условии, являются высотами этого треугольника.

1. Прямая, проведённая через вершину $A$ и перпендикулярная прямой $BD$, по определению является высотой треугольника $ABD$, опущенной из вершины $A$ на сторону $BD$.

2. Прямая, проведённая через вершину $B$, по условию перпендикулярна прямой $BC$. Так как $ABCD$ — это параллелограмм, его противолежащие стороны параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй. Следовательно, данная прямая перпендикулярна и прямой $AD$. Таким образом, вторая прямая является высотой треугольника $ABD$, опущенной из вершины $B$ на сторону $AD$.

3. Прямая, проведённая через вершину $D$, по условию перпендикулярна прямой $CD$. В параллелограмме $ABCD$ стороны $CD$ и $AB$ также параллельны ($CD \parallel AB$). Следовательно, данная прямая перпендикулярна и прямой $AB$. Таким образом, третья прямая является высотой треугольника $ABD$, опущенной из вершины $D$ на сторону $AB$.

Мы установили, что все три проведенные прямые являются высотами треугольника $ABD$. Согласно известной теореме геометрии, три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке (эта точка называется ортоцентром).

Следовательно, данные прямые пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, так как данные прямые являются высотами треугольника $ABD$, которые по теореме о высотах треугольника пересекаются в одной точке.