Номер 2.43, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.43. Через точку, принадлежащую углу, проведите прямую так, чтобы отрезок этой прямой, заключённый внутри угла, данной точкой делился пополам.

2.43. Через точку, принадлежащую углу, проведите прямую так, чтобы отрезок этой прямой, заключённый внутри угла, данной точкой делился пополам.

Пусть дан угол с вершиной в точке $O$ и сторонами-лучами $l_1$ и $l_2$. Пусть $M$ — точка, принадлежащая этому углу.

Для построения искомой прямой, отрезок которой, заключённый внутри угла, делится точкой $M$ пополам, выполним следующие действия:

1. Соединим вершину угла $O$ с точкой $M$ отрезком.
2. Продолжим отрезок $OM$ за точку $M$ и отложим на его продолжении отрезок $ME$, равный по длине отрезку $OM$. Таким образом, точка $M$ станет серединой отрезка $OE$.
3. Через точку $E$ проведём прямую, параллельную стороне $l_2$ угла. Точку пересечения этой прямой со стороной $l_1$ обозначим как $C$.
4. Проведём прямую через точки $C$ и $M$. Эта прямая и будет искомой.

Доказательство

Пусть построенная прямая $CM$ пересекает сторону $l_2$ в точке $D$. Нам нужно доказать, что $CM = MD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle MEC$ и $\triangle MOD$.

• $ME = MO$ по построению.
• $\angle EMC = \angle OMD$, так как они являются вертикальными углами.
• Прямая $CE$ параллельна прямой $OD$ (которая содержит луч $l_2$) по построению. Прямая $OE$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, накрест лежащие углы $\angle MEC$ и $\angle MOD$ равны.

Таким образом, треугольники $\triangle MEC$ и $\triangle MOD$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников, AAS). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, а именно $MC = MD$.

Это означает, что точка $M$ является серединой отрезка $CD$. Прямая, проходящая через $C$ и $M$, пересекает стороны угла в точках $C$ и $D$, и отрезок $CD$ делится точкой $M$ пополам, что и требовалось.

Ответ: Искомая прямая — это прямая, проходящая через данную точку $M$ и точку $C$. Точка $C$ лежит на одной стороне угла и строится следующим образом: сначала строится точка $E$ на продолжении отрезка $OM$ за точку $M$ так, что $OM = ME$; затем через точку $E$ проводится прямая, параллельная второй стороне угла, до пересечения с первой стороной в точке $C$.