Номер 2.39, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.39. Из вершины $B$ параллелограмма $ABCD$ опустили перпендикуляр $BE$ на диагональ $AC$. Через точку $A$ проведена прямая $m$, перпендикулярная прямой $AD$, а через точку $C$ — прямая $n$, перпендикулярная прямой $CD$. Докажите, что точка пересечения прямых $m$ и $n$ принадлежит прямой $BE$.

2.39. Из вершины $B$ параллелограмма $ABCD$ опустили перпендикуляр $BE$ на диагональ $AC$. Через точку $A$ проведена прямая $m$, перпендикулярная прямой $AD$, а через точку $C$ — прямая $n$, перпендикулярная прямой $CD$. Докажите, что точка пересечения прямых $m$ и $n$ принадлежит прямой $BE$.

Рассмотрим треугольник $ABC$.

По условию задачи, из вершины $B$ опущен перпендикуляр $BE$ на диагональ $AC$, следовательно, $BE \perp AC$. Это означает, что прямая $BE$ содержит высоту треугольника $ABC$, проведенную из вершины $B$ к стороне $AC$.

Через точку $A$ проведена прямая $m$, перпендикулярная прямой $AD$ ($m \perp AD$). Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй. Следовательно, $m \perp BC$. Таким образом, прямая $m$, проходящая через вершину $A$, содержит высоту треугольника $ABC$, проведенную к стороне $BC$.

Аналогично, через точку $C$ проведена прямая $n$, перпендикулярная прямой $CD$ ($n \perp CD$). Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $CD \parallel AB$. Из этого следует, что $n \perp AB$. Таким образом, прямая $n$, проходящая через вершину $C$, содержит высоту треугольника $ABC$, проведенную к стороне $AB$.

Пусть $K$ — точка пересечения прямых $m$ и $n$. Исходя из вышесказанного, точка $K$ является точкой пересечения прямых, содержащих высоты треугольника $ABC$, проведенные из вершин $A$ и $C$. Точка пересечения высот треугольника называется его ортоцентром. Следовательно, $K$ — ортоцентр треугольника $ABC$.

Известно, что все три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке — ортоцентре. Значит, третья высота треугольника $ABC$, проведенная из вершины $B$, также должна проходить через точку $K$. Поскольку эта высота лежит на прямой $BE$, точка $K$ принадлежит прямой $BE$.

Таким образом, доказано, что точка пересечения прямых $m$ и $n$ принадлежит прямой $BE$.

Ответ: Утверждение доказано.