Номер 2.34, страница 18 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.34. В параллелограмме $ABCD$ биссектрисы углов $A$ и $D$ делят сторону $BC$ на три равных отрезка. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 40 см.

2.34. В параллелограмме $ABCD$ биссектрисы углов $A$ и $D$ делят сторону $BC$ на три равных отрезка. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 40 см.

Пусть в параллелограмме $ABCD$ стороны равны $AB=CD=a$ и $BC=AD=b$.

Пусть $M$ — точка пересечения биссектрисы угла $A$ со стороной $BC$, а $N$ — точка пересечения биссектрисы угла $D$ со стороной $BC$.

Рассмотрим треугольник $ABM$. Так как $BC \parallel AD$, то углы $\angle DAM$ и $\angle BMA$ равны как накрест лежащие углы при секущей $AM$. Поскольку $AM$ — биссектриса, $\angle DAM = \angle BAM$. Следовательно, $\angle BAM = \angle BMA$, и треугольник $ABM$ является равнобедренным с основанием $AM$. Отсюда следует, что $AB = BM = a$.

Аналогично рассмотрим треугольник $DCN$. Так как $BC \parallel AD$, то углы $\angle ADN$ и $\angle CND$ равны как накрест лежащие углы при секущей $DN$. Поскольку $DN$ — биссектриса, $\angle ADN = \angle CDN$. Следовательно, $\angle CDN = \angle CND$, и треугольник $DCN$ является равнобедренным с основанием $DN$. Отсюда следует, что $CD = CN = a$.

По условию, точки $M$ и $N$ делят сторону $BC$ на три равных отрезка. Это означает, что на стороне $BC$ есть две точки, которые создают три сегмента одинаковой длины. В зависимости от взаимного расположения точек $M$ и $N$ возможны два случая.

В этом случае три равных отрезка — это $BM$, $MN$ и $NC$. Пусть их длина равна $x$.

$BM = MN = NC = x$.

Из анализа равнобедренных треугольников мы получили, что $BM = a$ и $CN = a$. Таким образом, $x=a$.

Длина стороны $BC$ равна сумме длин этих трех отрезков: $b = BC = BM + MN + NC = a + a + a = 3a$.

Стороны параллелограмма равны $a$ и $3a$. Его периметр вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$.

Подставим известные значения: $P = 2(a + 3a) = 8a$.

По условию $P=40$ см, значит, $8a = 40$, откуда $a = 5$ см.

Следовательно, стороны параллелограмма равны $a = 5$ см и $b = 3a = 3 \cdot 5 = 15$ см.

Проверим условие порядка точек: $BM = a = 5$ см; $BN = BC - NC = 3a - a = 2a = 10$ см. Так как $5 < 10$, порядок точек $B, M, N, C$ является верным. Это решение корректно.

В этом случае три равных отрезка — это $BN$, $NM$ и $MC$. Пусть их длина равна $x$.

$BN = NM = MC = x$.

Длина стороны $BC$ равна $b = BC = BN + NM + MC = x + x + x = 3x$.

Из анализа равнобедренных треугольников мы знаем, что $BM = a$ и $CN = a$.

При данном порядке точек $BM = BN + NM = x + x = 2x$. Таким образом, $a = 2x$.

Аналогично, $CN = NM + MC = x + x = 2x$. Это согласуется с тем, что $CD=a=2x$.

Стороны параллелограмма выражаются через $x$ как $a=2x$ и $b=3x$. Периметр равен $P = 2(a+b) = 2(2x+3x) = 10x$.

По условию $P=40$ см, значит, $10x = 40$, откуда $x = 4$ см.

Тогда стороны параллелограмма равны $a = 2x = 2 \cdot 4 = 8$ см и $b = 3x = 3 \cdot 4 = 12$ см.

Проверим условие порядка точек: $BN = x=4$ см; $BM=a=8$ см. Так как $4 < 8$, порядок точек $B, N, M, C$ является верным. Это решение также корректно.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: стороны параллелограмма могут быть 5 см и 15 см, либо 8 см и 12 см.